Matura podstawowa wrzesień 2022

Najpierw obliczamy wyrażenie w nawiasie: \[ 1+3\cdot2^{-1}=1+3\cdot\frac12=\frac52. \] Następnie korzystamy z własności potęgi o wykładniku ujemnym: \[ \left(\frac52\right)^{-2}=\left(\frac25\right)^2=\frac4{25}. \] Uwaga: na obrazie odpowiedź A ma wartość \(\frac{25}{4}\), ale z podanego wyrażenia wynika \(\frac4{25}\).

Korzystamy z wartości logarytmów: \[ \log_5 5=1,\qquad \log_5 625=\log_5 5^4=4. \] Zatem \[ 2\log_5 5+1-\frac12\log_5 625=2+1-2=1. \]

Liczba podzielna przez \(25\) i nieparzysta musi kończyć się cyframi \(25\) albo \(75\), więc zakończenie wybieramy na \(2\) sposoby. Pierwszą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów, a drugą na \(10\) sposobów. Łącznie: \[ 9\cdot10\cdot2. \]

Sprowadzamy liczbę \(5\) do mianownika \(x-1\): \[ \frac2{x-1}-5=\frac2{x-1}-\frac{5(x-1)}{x-1} =\frac{2-5x+5}{x-1}=\frac{-5x+7}{x-1}. \]

Mamy \[ 9-(x^2-2xy+y^2)=9-(x-y)^2. \] Stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[ 9-(x-y)^2=[3-(x-y)][3+(x-y)], \] co odpowiada odpowiedzi D. Ponadto \[ -[(x-y)-3][(x-y)+3]=[3-(x-y)][3+(x-y)], \] więc poprawna jest także odpowiedź F.

Wyłączamy wspólny czynnik i grupujemy wyrazy: \[ 3x^3-6x^2-27x+54=3(x^3-2x^2-9x+18) \] \[ =3[x^2(x-2)-9(x-2)]=3(x-2)(x^2-9). \] Korzystamy z różnicy kwadratów: \[ 3(x-2)(x-3)(x+3)=0. \] Stąd \[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=3. \]

Najpierw wyznaczamy dziedzinę: \[ x^2-1\ne0,\quad x\ne-1,\quad x\ne1. \] Licznik rozkładamy na czynniki: \[ (x^2+x)(x+3)(x-1)=x(x+1)(x+3)(x-1). \] Po uwzględnieniu dziedziny równanie spełniają tylko \[ x=0\quad\text{oraz}\quad x=-3. \]

Zaznaczony zbiór to \[ (-\infty,-4]\cup[0,\infty). \] Są to liczby, których odległość od \(-2\) jest nie mniejsza niż \(2\), czyli \[ |x+2|\ge2. \]

Banknotów stuzłotowych jest \(2x\), a dwudziestozłotowych \(y=x-2\). Suma wypłaconej kwoty daje równanie \[ 20y+50x+100\cdot2x=1040. \] Otrzymujemy układ z odpowiedzi A.

Najmniejsza wartość funkcji odczytana z wykresu wynosi \(-4\), a największa \(4\). Obie wartości są przyjmowane, dlatego zbiorem wartości jest \[ [-4,4]. \]

Na odcinku wykresu odpowiadającym argumentom z przedziału \((-4,-2)\) funkcja przyjmuje również wartości dodatnie, dlatego pierwsze zdanie jest fałszywe. Wykres przecina oś \(Ox\) trzy razy: dla \(x=-4\), na odcinku między punktami \((-3,-2)\) i \((-1,4)\) oraz dla \(x=0\). Drugie zdanie jest prawdziwe. Zatem poprawna odpowiedź to: \(F,\ P\).

W przedziale \([-4,0]\) najniższy punkt wykresu ma współrzędne \((-3,-2)\). Najmniejsza wartość funkcji wynosi więc \(-2\).

Środkiem okręgu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\) jest punkt \(S=(3,-1)\). Odległość punktu \(A=(8,11)\) od środka: \[ AS=\sqrt{(8-3)^2+(11+1)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13. \]

Największa głębokość jest na końcu basenu, czyli dla \(x=25\). Korzystamy z drugiego wzoru: \[ y=0{,}18\cdot25-0{,}9=4{,}5-0{,}9=3{,}6\text{ m}. \]

Dla \(x=0\) głębokość wynosi \(1{,}2\) m, więc \[ b=1{,}2. \] Oba odcinki dna łączą się dla \(x=15\). Z drugiego wzoru: \[ y=0{,}18\cdot15-0{,}9=1{,}8. \] Zatem \[ 15a+1{,}2=1{,}8, \] \[ 15a=0{,}6, \] \[ a=0{,}04. \]

Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej \[ f(x)=-(x-1)^2+2. \] Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,2)\).

Ramiona paraboli są skierowane w dół, a największa wartość funkcji wynosi \(2\). Zatem zbiorem wartości jest \[ (-\infty,2]. \]

Podstawiamy \(n=50\): \[ a_{50}=\frac{7^{50}}{21}=\frac{7^{50}}{3\cdot7}=\frac{7^{49}}3. \]

Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7^{n+1}/21}{7^n/21}=7, \] więc ciąg jest geometryczny. Trzy pierwsze wyrazy to \[ \frac13,\quad\frac73,\quad\frac{49}3. \] Ich suma wynosi \[ \frac{1+7+49}{3}=\frac{57}{3}=19, \] a nie \(20\).

Punkt \(A=(-1,3)\) należy do prostej \(y=3x+b\), więc \[ 3=3\cdot(-1)+b. \] Stąd \[ b=6. \]

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[ a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3>0. \] Ciąg jest więc rosnący. Poprawne uzupełnienie to A oraz 3.

Rozwiązujemy nierówność \[ 3n-1>25. \] Stąd \[ 3n>26,\qquad n>\frac{26}{3}. \] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest \(9\).

Wyznaczamy sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n=3n-1\): \[ a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11,\quad a_5=14,\quad a_6=17. \] Ich suma jest równa \[ 2+5+8+11+14+17=57. \] Zatem \(n=6\), czyli poprawna jest odpowiedź A.

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \[ a_k=\frac12,\qquad a_l=-2. \] Ich iloczyn jest równy \[ \frac12\cdot(-2)=-1, \] więc proste są prostopadłe.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i jedynki trygonometrycznej: \[ (1-\cos20^\circ)(1+\cos20^\circ)-\sin^2 20^\circ \] \[ =1-\cos^2 20^\circ-\sin^2 20^\circ=0. \]

Stosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \(4:5\). Wszystkich równych części jest \(4+5=9\), z czego \(4\) odpowiadają kulom białym. Zatem \[ P=\frac49. \]

Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, więc \(\angle OAB=\angle ABO=40^\circ\). Stąd \[ \angle AOB=180^\circ-80^\circ=100^\circ. \] Trójkąt \(BOC\) także jest równoramienny. Ponieważ \(\angle OBC=10^\circ\), mamy \(\angle BCO=10^\circ\), a więc \[ \angle BOC=160^\circ. \] Z sumy kątów wokół punktu \(O\): \[ \angle AOC=360^\circ-100^\circ-160^\circ=100^\circ. \] Trójkąt \(AOC\) jest równoramienny, dlatego \[ \angle ACO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ. \]

Największy kąt leży naprzeciw boku długości \(8\). Z twierdzenia cosinusów: \[ 8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos\alpha. \] Zatem \[ \cos\alpha=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot6\cdot7} =\frac{36+49-64}{84}=\frac{21}{84}=\frac14. \]

Z twierdzenia o dwusiecznej: \[ \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}. \] Podstawiamy dane: \[ \frac{3{,}2}{DC}=\frac4{4{,}6}=\frac{20}{23}. \] Stąd \[ DC=3{,}2\cdot\frac{23}{20}=\frac{92}{25}. \]

Zysk jest różnicą przychodu i kosztu: \[ Z(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170). \] Po uporządkowaniu: \[ Z(x)=-x^2+230x-170. \] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi \[ x_w=\frac{-230}{2\cdot(-1)}=115. \] Liczba \(115\) mieści się w przedziale \(0\le x\le150\). Obliczamy największy zysk: \[ Z(115)=-(115)^2+230\cdot115-170=13\,055. \] Zatem należy sprzedać \(115\) wiatraków, a największy tygodniowy zysk wynosi \(13\,055\) zł.

Średnia ważona wynosi \[ \frac{75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000}{160}. \] Po obliczeniu: \[ \frac{735000}{160}=4593{,}75\text{ zł}. \]

Pracowników jest \(160\), więc mediana jest średnią 80. i 81. wartości po uporządkowaniu. Pierwszych \(75\) osób zarabia \(4000\) zł, a osoby od 76. do 125. zarabiają \(4800\) zł. Zarówno 80., jak i 81. wartość wynosi zatem \(4800\) zł.

Płacę nieprzekraczającą \(5000\) zł otrzymuje \[ 75+50+20=145 \] osób. Stanowi to \[ \frac{145}{160}\cdot100\%=90{,}625\%. \] Po zaokrągleniu do \(1\%\) otrzymujemy \(91\%\).

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku \[ a=10\sqrt3. \] Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku trójkąta równobocznego. Odległość tego punktu od wierzchołka podstawy, czyli odcinek biegnący od spodka wysokości do krawędzi bocznej, ma długość \[ \frac{a\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3\cdot\sqrt3}{3}=10. \] Krawędź boczna ma długość \(15\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[ h^2+10^2=15^2. \] Zatem \[ h^2=225-100=125, \] \[ h=5\sqrt5. \]

Przekształcamy wyrażenie: \[ 10n^2+30n+8=5(2n^2+6n+1)+3. \] Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, wyrażenie \[ 2n^2+6n+1 \] jest liczbą całkowitą. Zatem \(5(2n^2+6n+1)\) jest wielokrotnością liczby \(5\). Całe wyrażenie ma więc postać \[ 5k+3, \] gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że przy dzieleniu przez \(5\) zawsze daje resztę \(3\).