Matura podstawowa grudzień 2023

\[\left(3^{-2{,}4}\cdot3^{\frac25}\right)^{\frac12}=\left(3^{-2}\right)^{\frac12}=3^{-1}=\frac13.\]

\[\log_2 96-\log_2 3=\log_2\frac{96}{3}=\log_2 32=5.\]

\[K\cdot1{,}05^2=4851,\qquad K=\frac{4851}{1{,}1025}=4400.\]

Zaznaczony przedział to \((-3,7)\). Jego środkiem jest \(2\), a promieniem \(5\), zatem \[|x-2|<5.\]

Ponieważ \(n\) jest liczbą nieparzystą, możemy zapisać \[n=2k+1,\] gdzie \(k\in\mathbb Z\). Podstawiamy tę postać do wyrażenia: \[3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1.\] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\] Otrzymujemy: \[(2k+1)^2=4k^2+4k+1.\] Zatem \[3n^2+4n+1=3(4k^2+4k+1)+8k+4+1.\] Usuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: \[3n^2+4n+1=12k^2+12k+3+8k+4+1,\] \[3n^2+4n+1=12k^2+20k+8.\] Wyłączamy \(4\) przed nawias: \[3n^2+4n+1=4(3k^2+5k+2).\] Ponieważ \(k\in\mathbb Z\), to także \[3k^2+5k+2\in\mathbb Z.\] Wyrażenie \(3n^2+4n+1\) jest więc iloczynem liczby \(4\) i liczby całkowitej, a zatem jest podzielne przez \(4\).

Z pierwszego równania \(x=3y-5\). Po podstawieniu: \[2(3y-5)+y+3=0,\quad 7y-7=0,\quad y=1.\] Stąd \(x=-2\).

\[\frac{x+3}{(x+2)^2}\cdot\frac{x(x+2)}{2(x+3)}=\frac{x}{2(x+2)}=\frac{x}{2x+4}.\]

Ponieważ \(x+1\) jest dzielnikiem, \(W(-1)=0\): \[3-1-k+1=0,\quad k=3.\]

Rozwiązujemy równanie \[2x^3+3x^2-10x-15=0.\] Grupujemy wyrazy w dwie pary: \[(2x^3+3x^2)+(-10x-15)=0.\] Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), a z drugiej \(-5\): \[x^2(2x+3)-5(2x+3)=0.\] W obu składnikach występuje wspólny czynnik \(2x+3\), więc: \[(2x+3)(x^2-5)=0.\] Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru: \[2x+3=0\] lub \[x^2-5=0.\] Z pierwszego równania: \[x=-\frac32.\] Z drugiego równania: \[x^2=5,\] czyli \[x=-\sqrt5\quad\text{lub}\quad x=\sqrt5.\] Zatem \[x\in\left\{-\sqrt5,-\frac32,\sqrt5\right\}.\]

Dana jest funkcja \[f(x)=-\frac16x+\frac23.\] Zdanie 1. Sprawdzamy, czy liczba \(4\) jest miejscem zerowym funkcji. Miejsce zerowe spełnia równanie \[f(x)=0.\] Zatem \[-\frac16x+\frac23=0.\] Przenosimy \(\frac23\) na prawą stronę: \[-\frac16x=-\frac23.\] Mnożymy obie strony równania przez \(-6\): \[x=4.\] Liczba \(4\) jest miejscem zerowym funkcji, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe. Zdanie 2. Punkt przecięcia wykresu z osią \(Oy\) otrzymujemy dla \[x=0.\] Obliczamy: \[f(0)=-\frac16\cdot0+\frac23=\frac23.\] Wykres przecina więc oś \(Oy\) w punkcie \[\left(0,\frac23\right),\] a nie w punkcie \[\left(0,-\frac16\right).\] Drugie zdanie jest zatem fałszywe.

Wierzchołek ma współrzędne \((4,-2)\), a ramiona paraboli są skierowane w górę. Zatem \[W_f=[-2,+\infty).\]

Funkcja przyjmuje wartości ujemne pomiędzy miejscami zerowymi \(2\) i \(6\), więc \[x\in(2,6).\]

Miejsca zerowe to \(2\) i \(6\), a \(f(0)=6\): \[6=a(-2)(-6)\Rightarrow a=\frac12.\] Stąd \[f(x)=\frac12(x-2)(x-6)=\frac12(x-4)^2-2.\]

Funkcja \(g(x)=f(x+1)\) powstaje przez przesunięcie wykresu o \(1\) jednostkę w lewo. Wierzchołek przechodzi z \((4,-2)\) do \((3,-2)\), a miejsca zerowe z \(2,6\) do \(1,5\). To rysunek B.

Korzystamy ze wzoru \[T(t)=78\cdot2^{-0{,}05t}+22.\] Podstawiamy \(t=20\): \[T(20)=78\cdot2^{-0{,}05\cdot20}+22.\] Obliczamy wykładnik: \[-0{,}05\cdot20=-1.\] Zatem \[T(20)=78\cdot2^{-1}+22.\] Ponieważ \[2^{-1}=\frac12,\] to \[T(20)=78\cdot\frac12+22=39+22=61.\] Po \(20\) minutach temperatura wynosi \[61^\circ\mathrm C.\]

\[r=a_3-a_2=9-4=5,\qquad a_6=a_2+4r=4+20=24.\]

Korzystamy ze wzoru \[S_n=4(2^n-1).\] Najpierw obliczamy pierwszy wyraz: \[a_1=S_1=4(2^1-1)=4(2-1)=4.\] Zatem pierwsze zdanie jest prawdziwe. Teraz obliczamy sumę dwóch pierwszych wyrazów: \[S_2=4(2^2-1)=4(4-1)=4\cdot3=12.\] Ponieważ \[S_2=a_1+a_2,\] to \[a_2=S_2-a_1=12-4=8.\] Drugi wyraz ciągu nie jest równy \(12\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

Dla ciągu geometrycznego \[12^2=(1-2a)\cdot48.\] Stąd \(144=48(1-2a)\), więc \(a=-1\).

1. Wiemy, że \[\tan\alpha=-\frac23.\] Dla punktu \((x,y)\) leżącego na końcowym ramieniu kąta zachodzi \[\tan\alpha=\frac{y}{x}.\] Kąt \(\alpha\) leży w II ćwiartce, więc \[x<0\quad\text{oraz}\quad y>0.\] Na rysunku B punkt ma współrzędne w proporcji \[x:y=-3:2.\] Zatem \[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{2}{-3}=-\frac23.\] Dlatego poprawna jest odpowiedź B. 2. Mamy \[\cos\beta=\frac1{\sqrt{10}}>0.\] Kąt \(\beta\) jest ostry, więc jego końcowe ramię leży w I ćwiartce. Na rysunku D punkt ma współrzędne w proporcji \[x:y=1:3.\] Długość promienia wynosi \[r=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.\] Zatem \[\cos\beta=\frac{x}{r}=\frac1{\sqrt{10}}.\] Dlatego poprawna jest odpowiedź D.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\] Podstawiamy \[\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}.\] Otrzymujemy: \[\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)^2+\cos^2\alpha=1,\] \[\frac59+\cos^2\alpha=1,\] \[\cos^2\alpha=\frac49.\] Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry, mamy \(\cos\alpha>0\), więc \[\cos\alpha=\frac23.\] Teraz \[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt5}{3}}{\frac23}=\frac{\sqrt5}{3}\cdot\frac32=\frac{\sqrt5}{2}.\]

Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy \[\frac32.\] Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy \[-\frac{1}{\frac32}=-\frac23.\] Szukana prosta ma więc postać \[y=-\frac23x+b.\] Przechodzi ona przez punkt \(P=(6,0)\). Podstawiamy jego współrzędne: \[0=-\frac23\cdot6+b,\] \[0=-4+b,\] \[b=4.\] Równanie prostej ma postać \[y=-\frac23x+4.\]

Dla prostych równoległych współczynniki kierunkowe są równe: \[2m-1=-\frac12,\qquad m=\frac14.\]

Środek to \(S=(4,-2)\). Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(2\), więc \(r=2\). Zatem \[(x-4)^2+(y+2)^2=4.\]

Punkty mają współrzędne \[K=(-7,-2),\qquad L=(-1,4).\] Korzystamy ze wzoru na długość odcinka: \[|KL|=\sqrt{(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2}.\] Podstawiamy: \[|KL|=\sqrt{(-1-(-7))^2+(4-(-2))^2}.\] Obliczamy różnice: \[-1-(-7)=6,\qquad 4-(-2)=6.\] Zatem \[|KL|=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2.\] Pole trójkąta równobocznego: \[P=\frac{a^2\sqrt3}{4}.\] Dla \(a=6\sqrt2\): \[P=\frac{(6\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{36\cdot2\sqrt3}{4}=18\sqrt3.\]

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, zatem \[\angle OBC=90^\circ.\] Z rysunku \[\angle ABC=32^\circ.\] Stąd \[\angle ABO=90^\circ-32^\circ=58^\circ.\] Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, ponieważ \[OA=OB\] — są to promienie tego samego okręgu. Zatem \[\angle BAO=\angle ABO=58^\circ.\] Suma kątów w trójkącie \(AOB\) wynosi \(180^\circ\), więc \[\angle AOB=180^\circ-58^\circ-58^\circ=64^\circ.\] Ponieważ punkty \(A,O,C\) leżą na jednej prostej, \[\angle AOC=180^\circ.\] Stąd \[\angle BOC=180^\circ-64^\circ=116^\circ.\]

Przekątna rombu dzieli kąt na połowy, więc kąt rombu ma \(60^\circ\). Z zależności \(12=a\sqrt3\) otrzymujemy \(a=4\sqrt3\). Zatem \[P=a^2\sin60^\circ=48\cdot\frac{\sqrt3}{2}=24\sqrt3.\]

Z twierdzenia o przecinających się cięciwach: \[PA\cdot4=8\cdot5,\qquad PA=10.\] Średnica \(AB=10+4=14\), więc \[r=7.\]

Dla każdej pary przeciwległych ścian suma odległości punktu od tych ścian wynosi \(5\). Są trzy takie pary, więc suma wynosi \[5+5+5=15.\]

Niech \(a\) oznacza długość boku kwadratowej podstawy, \(H\) — wysokość ostrosłupa, a \(l\) — wysokość ściany bocznej. Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(M\) środkiem jednego z jej boków. Wtedy \[OM=\frac a2.\] Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kątem między odcinkami \(SM\) i \(OM\). Z treści: \[\tan\alpha=\frac43.\] W trójkącie prostokątnym \(SOM\): \[\tan\alpha=\frac{SO}{OM}=\frac{H}{a/2}.\] Zatem \[\frac{H}{a/2}=\frac43,\] \[H=\frac43\cdot\frac a2=\frac{2a}{3}.\] Objętość ostrosłupa: \[V=\frac13P_pH.\] Ponieważ podstawa jest kwadratem, \(P_p=a^2\). Podstawiamy: \[384=\frac13a^2\cdot\frac{2a}{3}=\frac{2a^3}{9}.\] Mnożymy przez \(9\): \[3456=2a^3,\] \[a^3=1728,\] \[a=12.\] Obliczamy wysokość ostrosłupa: \[H=\frac{2a}{3}=\frac{2\cdot12}{3}=8.\] W trójkącie prostokątnym \(SOM\) szukana wysokość ściany bocznej spełnia: \[l^2=H^2+\left(\frac a2\right)^2.\] Podstawiamy: \[l^2=8^2+6^2=64+36=100.\] Zatem \[l=10.\]

Możliwe pierwsze trójki cyfr to \((6,3,0),(7,4,1),(8,5,2),(9,6,3)\), czyli \(4\) możliwości. Pozostałe trzy miejsca obsadzamy różnymi cyframi na \[7\cdot6\cdot5=210\] sposobów. Łącznie \[4\cdot210=840.\]

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Na kostce liczbami nieparzystymi są \[1,\ 3,\ 5.\] Zdarzenia sprzyjające to uporządkowane pary: \[(1,1),\ (1,3),\ (1,5),\] \[(3,1),\ (3,3),\ (3,5),\] \[(5,1),\ (5,3),\ (5,5).\] Mamy więc \(9\) zdarzeń sprzyjających. Wszystkich możliwych wyników dwóch rzutów kostką jest \[6\cdot6=36.\] Zatem \[P=\frac9{36}=\frac14.\]

Normę spełniają jabłka o masach \[19\ \text{dag},\quad 20\ \text{dag},\quad 21\ \text{dag}.\] Z wykresu odczytujemy odpowiednie liczebności: \[11,\quad 14,\quad 11.\] Liczba jabłek spełniających normę wynosi więc \[11+14+11=36.\] Wszystkich jabłek jest \(50\), zatem \[P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}.\]

Dominanta to wartość występująca w badanym zbiorze najczęściej. Najwyższy słupek na wykresie odpowiada masie \[20\ \text{dag}.\] Oznacza to, że masa \(20\) dag występuje najczęściej. Poprawne są więc odpowiedź A oraz uzasadnienie 3.

Niech \(x\) oznacza krótszą podstawę. Wysokość wynosi \(18-x\), więc \[P(x)=\frac{12+x}{2}(18-x)=-\frac12x^2+3x+108.\] Funkcja osiąga maksimum dla \[x=-\frac{3}{2(-\frac12)}=3.\] Wtedy \[P_{\max}=\frac{12+3}{2}\cdot15=112{,}5\ \mathrm{dm}^2.\]