Matura podstawowa maj 2023

Zaznaczony zbiór to \[ (-\infty,-2]\cup[5,\infty). \] Jego środek ma współrzędną \[ \frac{-2+5}{2}=1{,}5, \] a odległość od środka do każdego końca wynosi \(3{,}5\). Zatem \[ |x-1{,}5|\ge 3{,}5. \]

\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2} =\sqrt[3]{-\frac{54}{16}} =\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} =-\frac32. \]

\[ (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1). \] Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem podzielny przez \(2\), a liczba \[ 4n(n+1) \] jest podzielna przez \(8\).

Przechodzimy z logarytmów o podstawie \(9\) do potęg liczby \(9\): \[ 27=9^{\frac32},\qquad 3=9^{\frac12}. \] Zatem \[ \log_9 27+\log_9 3 =\frac32+\frac12 =2. \] Równoważnie można zapisać: \[ \log_9 27+\log_9 3 =\log_9(27\cdot3) =\log_9 81 =2, \] ponieważ \[ 9^2=81. \]

Rozwijamy oba kwadraty: \[ (2a-3)^2=4a^2-12a+9, \] \[ (2a+3)^2=4a^2+12a+9. \] Odejmujemy: \[ (2a-3)^2-(2a+3)^2 =4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9). \] Redukujemy wyrazy podobne: \[ 4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a. \]

\[ -2(x+3)\le\frac{2-x}{3}. \] Mnożymy przez \(3\): \[ -6x-18\le2-x. \] \[ -5x\le20, \] stąd \[ x\ge-4. \]

Równanie \[ \sqrt3(x^2-2)(x+3)=0 \] jest spełnione, gdy \[ x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0. \] Zatem \(x=\pm\sqrt2\) lub \(x=-3\). Wśród odpowiedzi znajduje się \(\sqrt2\).

Dziedzina wyrażenia: \[ x\neq -1,\qquad x\neq 1. \] Równanie ma postać \[ \frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0. \] Dla \(x\neq -1\) i \(x\neq 1\) skracamy wspólne czynniki: \[ \frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2} =\frac{x-1}{x+1}. \] Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru: \[ x-1=0, \] czyli \[ x=1. \] Jednak \(x=1\) nie należy do dziedziny. Równanie nie ma rozwiązania.

\[ 3x^3-2x^2-12x+8=0. \] Grupujemy wyrazy: \[ x^2(3x-2)-4(3x-2)=0, \] \[ (3x-2)(x^2-4)=0, \] \[ (3x-2)(x-2)(x+2)=0. \] Stąd \[ x=\frac23,\quad x=2,\quad x=-2. \]

W równaniu prostej \[ y=ax+b \] współczynnik \(a\) decyduje o kierunku nachylenia prostej: - gdy \(a>0\), prosta jest rosnąca, - gdy \(a<0\), prosta jest malejąca. Na rysunku jedna prosta jest malejąca, ma współczynnik kierunkowy \(-1\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \(2\): \[ y=-x+2. \] Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy \(2\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \(-1\): \[ y=2x-1. \] Poprawna jest odpowiedź D.

Obwód prostokąta jest równy \(30\), więc \[ 2(a+b)=30, \] czyli równoważnie \[ 2a+2b=30. \] Ponieważ \(a>b\), krótszy bok spełnia \[ b=a-5, \] równoważnie \[ a-b=5. \] Warunki zapisano w układach C oraz E.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla wszystkich argumentów od \(-6\) do \(5\), wraz z końcami. Zatem \[ D_f=[-6,5]. \]

Rozpatrujemy wartości funkcji dla \[ x\in[-4,1]. \] Najwyższy punkt wykresu w tym przedziale znajduje się dla argumentów \[ x\in[-4,-3), \] a wartość funkcji jest tam równa \[ 2. \] Największa wartość funkcji w przedziale \([-4,1]\) jest więc równa \(2\).

Na odcinku od \(x=2\) do \(x=5\) wykres opada wraz ze wzrostem argumentu. Funkcja jest tam malejąca.

Prosta opada, więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: \[ a<0. \] Przecina dodatnią część osi \(Oy\), zatem \[ b>0. \]

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=3\). Średnia miejsc zerowych jest równa \(3\): \[ \frac{-5+x_2}{2}=3. \] \[ -5+x_2=6, \] stąd \[ x_2=11. \]

\[ a_4=2^4(4+1)=16\cdot5=80. \]

Iloraz ciągu geometrycznego wynosi \[ q=\frac9{27}=\frac13. \] Trzeci wyraz: \[ 9\cdot\frac13=3. \] Zatem \[ a-1=3, \] czyli \[ a=4. \]

Raty tworzą ciąg arytmetyczny. Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o \(30\) zł, więc osiemnasta rata jest równa \[ a_{18}=a_1+17\cdot(-30). \] Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[ S_{18}=\frac{a_1+a_{18}}{2}\cdot18. \] Podstawiamy: \[ 8910=\frac{a_1+\left(a_1+17\cdot(-30)\right)}{2}\cdot18. \] \[ 8910=\frac{2a_1-510}{2}\cdot18. \] \[ 8910=9(2a_1-510). \] \[ 990=2a_1-510, \] \[ 2a_1=1500, \] \[ a_1=750. \] Pierwsza rata wynosiła \(750\) zł.

Ramię kąta przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\), dlatego \[ \tan\alpha=\frac{y_P}{x_P}=\frac1{-3}=-\frac13. \]

\[ \sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha =\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) =\sin^2\alpha. \]

Pole rombu: \[ P=a^2\sin150^\circ =(6\sqrt2)^2\cdot\frac12 =72\cdot\frac12=36. \] Ponieważ \[ P=\frac{d_1d_2}{2}, \] to \[ d_1d_2=2P=72. \]

Trójkąt \(AOC\) jest równoramienny, więc \[ \angle OAC=\angle ACO=70^\circ. \] Zatem \[ \angle AOC=180^\circ-140^\circ=40^\circ. \] Kąt wpisany \(ABC\), oparty na tym samym łuku \(AC\), ma miarę \[ \frac{40^\circ}{2}=20^\circ. \]

Trójkąt \(T_1\) ma przyprostokątne \(5\) i \(12\), więc jego przeciwprostokątna ma długość \[ 13. \] W trójkącie \(T_2\) przeciwprostokątna ma długość \(26\), zatem skala podobieństwa wynosi \[ k=\frac{26}{13}=2. \] Przyprostokątne \(T_2\) mają długości \(10\) i \(24\), więc \[ P_{T_2}=\frac12\cdot10\cdot24=120. \]

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \[ \frac23\quad\text{i}\quad-\frac32. \] Ich iloczyn jest równy \(-1\), więc proste są prostopadłe. Punkt przecięcia spełnia \[ \frac23x=-\frac32x+13. \] \[ \frac{13}{6}x=13, \] stąd \(x=6\), a \[ y=\frac23\cdot6=4. \] Punkt przecięcia to \(P=(6,4)\).

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy: \[ a=-\frac13. \] Podstawiamy punkt \(P=(3,5)\): \[ 5=-\frac13\cdot3+b=-1+b. \] Stąd \[ b=6. \]

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu: \[ 15\sqrt2. \] Jeżeli \(d\) oznacza przekątną graniastosłupa, to \[ \cos\alpha=\frac{15\sqrt2}{d}=\frac{\sqrt2}{3}. \] Stąd \[ d=45. \]

W przekroju zawierającym wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej otrzymujemy trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna ma długość \(6\), a kąt przy podstawie ma miarę \(30^\circ\). Oznaczmy przez \(h\) wysokość ostrosłupa, a przez \(r\) odległość środka podstawy od środka jej boku. Z definicji sinusa: \[ \sin30^\circ=\frac{h}{6}. \] Ponieważ \[ \sin30^\circ=\frac12, \] to \[ \frac12=\frac{h}{6}, \] stąd \[ h=3. \] Z definicji cosinusa: \[ \cos30^\circ=\frac{r}{6}. \] Ponieważ \[ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] to \[ \frac{\sqrt3}{2}=\frac{r}{6}, \] stąd \[ r=3\sqrt3. \] Odcinek \(r\) jest połową boku kwadratu, więc \[ a=2r=6\sqrt3. \] Pole podstawy: \[ P_p=a^2=(6\sqrt3)^2=108. \] Objętość: \[ V=\frac13P_ph =\frac13\cdot108\cdot3 =108. \] Pole jednej ściany bocznej: \[ P_1=\frac12\cdot a\cdot6 =\frac12\cdot6\sqrt3\cdot6 =18\sqrt3. \] Pole powierzchni bocznej: \[ P_b=4\cdot18\sqrt3=72\sqrt3. \] Pole powierzchni całkowitej: \[ P_c=P_p+P_b=108+72\sqrt3. \]

Jeżeli podstawa ma \(n\) boków, ostrosłup ma \[ W=n+1 \] wierzchołków oraz \[ K=2n \] krawędzi. Z warunku \[ \frac{n+1}{2n}=\frac35 \] otrzymujemy \[ 5n+5=6n, \] czyli \[ n=5. \]

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy \(2\) możliwości: \(5\) lub \(7\). Na każdej z pozostałych czterech pozycji można wybrać jedną z \(3\) cyfr. Liczba takich liczb wynosi \[ 2\cdot3^4. \]

Ceny uporządkowane występują odpowiednio \(2,4,2,5,3\) razy. Jest \(16\) obserwacji. Ósma wartość to \(5{,}70\), a dziewiąta to \(6{,}00\), więc \[ Me=\frac{5{,}70+6{,}00}{2}=5{,}85. \] Średnia: \[ \frac{2\cdot5{,}05+4\cdot5{,}60+2\cdot5{,}70+5\cdot6{,}00+3\cdot6{,}30}{16} =5{,}80. \]

Mamy \(8\cdot8=64\) jednakowo prawdopodobne uporządkowane wyniki. Iloczyn jest podzielny przez \(15\), gdy jedna z liczb jest równa \(5\), a druga jest wielokrotnością \(3\): \(3\), \(6\) lub \(9\). Korzystne pary: \[ (5,3),(5,6),(5,9),(3,5),(6,5),(9,5). \] Jest ich \(6\), więc \[ P(A)=\frac6{64}=\frac3{32}. \]

Pierwsze zdanie jest fałszywe, ponieważ \(L(30)\) oznacza liczbę klientów obsłużonych trzydziestego dnia, a nie łączną liczbę klientów z trzydziestu dni. Dla trzeciego dnia: \[ L(3)=-3^2+22\cdot3+279=-9+66+279=336. \] Drugie zdanie jest prawdziwe.

Funkcja \[ L(n)=-n^2+22n+279 \] jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka: \[ n=-\frac{22}{2\cdot(-1)}=11. \] \[ L(11)=-121+242+279=400. \] Największą liczbę klientów, równą \(400\), obsłużono 11. dnia.