Matura podstawowa sierpień 2023

Rozwiązujemy nierówność \[ |x-5|<2. \] Korzystamy z własności \[ |u|<a \iff -a<u<a. \] Otrzymujemy \[ -2<x-5<2. \] Do wszystkich stron nierówności dodajemy \(5\): \[ 3<x<7. \] Zbiorem rozwiązań jest więc przedział \[ (3,7). \] Taki przedział przedstawiono na rysunku D.

\[ 3\sqrt{45}-\sqrt{20} =3\sqrt{9\cdot5}-\sqrt{4\cdot5} =3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5 =9\sqrt5-2\sqrt5 =7\sqrt5. \] Ponieważ \[ \sqrt5=5^{\frac12}, \] to wynik ma postać \[ 7\cdot5^{\frac12}. \] Poprawna jest odpowiedź D.

\[ \log_{25}1-\frac12\log_{25}5 =0-\frac12\cdot\frac12 =-\frac14. \] Zatem poprawna jest odpowiedź A.

\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5).\]
Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)(n+5)\) jest więc podzielny przez \(2\), a po pomnożeniu przez \(3\) całe wyrażenie jest podzielne przez \(6\).

\[\frac{3^{-1}}{\left(-\frac13\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac13}{9}\cdot81=\frac1{27}\cdot81=3.\]

Rozwijamy oba kwadraty, korzystając ze wzoru \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \] Mamy \[ (2-\sqrt3)^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2 =4-4\sqrt3+3 =7-4\sqrt3. \] Podobnie \[ (\sqrt3-2)^2=(\sqrt3)^2-2\cdot\sqrt3\cdot2+2^2 =3-4\sqrt3+4 =7-4\sqrt3. \] Zatem \[ (2-\sqrt3)^2-(\sqrt3-2)^2 =(7-4\sqrt3)-(7-4\sqrt3)=0. \] Poprawna jest odpowiedź B.

Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika:
\[\frac1{2x}-x=\frac1{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}.\]

Dziedzina wyklucza \(x=\pm5\). Licznik jest równy zeru, gdy
\[(x^2-3x)(x^2+1)=0.\]
Ponieważ \(x^2+1>0\), mamy \(x(x-3)=0\), czyli \(x=0\) lub \(x=3\). Obie liczby należą do dziedziny, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

\[3x^3-2x^2-3x+2=0.\]
Grupujemy wyrazy:
\[x^2(3x-2)-1(3x-2)=0,\]
\[(3x-2)(x^2-1)=0,\]
\[(3x-2)(x-1)(x+1)=0.\]
Stąd \(x=\frac23\), \(x=1\) lub \(x=-1\).

Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\). W układzie D:
\[-8-6=-14,\]
\[-2\cdot(-8)+6=16+6=22.\]
Punkt spełnia oba równania, więc poprawna jest odpowiedź D.

Wykres przechodzi przez punkty \((1,0)\) i \((-1,4)\). Współczynnik kierunkowy:
\[a=\frac{0-4}{1-(-1)}=-2.\]
Z warunku \(f(1)=0\): \(0=-2+b\), więc \(b=2\). Zatem \(f(x)=-2x+2\).

Korzystamy z warunku \(f(1)=2\):
\[\frac{1-k}{1+1}=2,\]
\[1-k=4,\qquad k=-3.\]

Funkcja ma postać wierzchołkową \[ f(x)=(x-13)^2-256, \] więc pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa \[ p=13. \] Jedno miejsce zerowe to \[ x_1=-3. \] Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi, dlatego \[ p=\frac{x_1+x_2}{2}. \] Podstawiamy: \[ 13=\frac{-3+x_2}{2}. \] \[ 26=-3+x_2, \] \[ x_2=29. \] Drugim miejscem zerowym jest \(29\), czyli odpowiedź D.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja rośnie na odcinku od \(x=5\) do \(x=7\). Dlatego poprawny jest przedział \([5,7]\).

Z wykresu odczytujemy wszystkie argumenty, dla których \[ f(x)>1. \] Na poziomym fragmencie wykresu wartość funkcji jest większa od \(1\) dla \[ x\in[-7,-5]. \] Na opadającym fragmencie wykres znajduje się powyżej prostej \(y=1\) dla \[ x\in[-4,2). \] Na prawym, rosnącym fragmencie otrzymujemy \[ x\in(5,7]. \] Zatem \[ x\in[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]. \]

Wykres funkcji \(g(x)=f(-x)\) otrzymujemy przez odbicie wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\). Po odbiciu poziomy fragment znajduje się po prawej stronie, a pozostałe odcinki po lewej. Taki wykres przedstawiono na rysunku B.

Szukamy funkcji, których zbiorem wartości jest \[ (-\infty,2]. \] Dla funkcji A mamy od razu postać wierzchołkową: \[ A(x)=-(x-3)^2+2. \] Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne \[ (p,q)=(3,2). \] Największą wartością funkcji jest więc \(2\). Dla funkcji F: \[ F(x)=-2x^2+4x. \] Wyznaczamy współrzędne wierzchołka: \[ p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1. \] Następnie \[ q=F(1)=-2\cdot1^2+4\cdot1=2. \] Parabola jest skierowana ramionami w dół, ponieważ \(a=-2<0\), a jej największa wartość wynosi \(2\). Poprawne odpowiedzi to A i F.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=-1\cdot2=-2.\]

Mamy \(a_n=128\left(-\frac12\right)^{n-1}\). Ponieważ \(2023-1=2022\) jest parzyste, \(a_{2023}>0\), więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponadto
\[a_2=-64,\qquad a_3=32,\]
więc
\[a_3-a_2=32-(-64)=96.\]
Drugie zdanie jest prawdziwe.

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych:
\[2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2).\]
Po uproszczeniu:
\[2x^2=2x^2+5x+20,\]
\[5x+20=0,\qquad x=-4.\]

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]
\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt6}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}.\]
Kąt jest ostry, więc \(\sin\alpha=\frac57\).

Stosunek pól podobnych trapezów wynosi
\[\frac{13}{52}=\frac14.\]
Stosunek długości jest pierwiastkiem ze stosunku pól, czyli \(\frac12\). Zatem obwód mniejszego trapezu:
\[36\cdot\frac12=18.\]

Obwód wycinka koła składa się z długości łuku oraz dwóch promieni. Długość łuku o kącie środkowym \(30^\circ\) i promieniu \(3\) wynosi \[ l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3 =\frac{1}{12}\cdot6\pi =\frac\pi2. \] Dwa promienie mają łączną długość \[ 2\cdot3=6. \] Zatem obwód wycinka jest równy \[ \frac\pi2+6. \] Poprawna jest odpowiedź D.

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego, więc \(\beta=2\alpha\). Z treści również \(\beta=\alpha+40^\circ\). Stąd
\[2\alpha=\alpha+40^\circ,\quad \alpha=40^\circ,\]
więc \(\beta=80^\circ\).

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie:
\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|CB|}=\frac34.\]
Zatem \(|AD|:|DB|=3:4\).

Ramię trapezu ma długość \(4\), a kąt przy dłuższej podstawie ma miarę \(60^\circ\). W trójkącie prostokątnym wysokość trapezu jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(60^\circ\), więc \[ \sin60^\circ=\frac{h}{4}. \] Stąd \[ h=4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3. \] Fragment dłuższej podstawy przy każdym ramieniu jest przyprostokątną przyległą do kąta \(60^\circ\). Oznaczmy jego długość przez \(x\). Wtedy \[ \cos60^\circ=\frac{x}{4}. \] Zatem \[ x=4\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2. \] Krótsza podstawa ma długość \(6\), więc dłuższa podstawa ma długość \[ 6+2+2=10. \] Pole trapezu: \[ P=\frac{(6+10)\cdot2\sqrt3}{2}=16\sqrt3. \]

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy \(\frac34\), więc ma postać \(y=\frac34x+b\). Podstawiamy punkt \((12,-1)\):
\[-1=\frac34\cdot12+b=9+b,\]
więc \(b=-10\).

Równanie okręgu o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]
Dla \(S=(-1,2)\) i \(r=3\) otrzymujemy
\[(x+1)^2+(y-2)^2=9.\]

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \(\sqrt3\), \(-\sqrt3\) oraz \(-\frac1{\sqrt3}\). Iloczyn współczynników pierwszej i trzeciej prostej jest równy
\[\sqrt3\cdot\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=-1,\]
więc te proste są prostopadłe. Trójkąt jest zatem prostokątny. Poprawna odpowiedź: B2.

Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem przekątnej \(AC\), a punkt \[ A=(-1,-4). \] Najpierw obliczamy długość odcinka \(AS\): \[ |AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}. \] \[ |AS|=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt5. \] Ponieważ \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\), mamy \[ |AC|=2|AS|. \] Zatem \[ |AC|=2\cdot3\sqrt5=6\sqrt5. \] Poprawna jest odpowiedź D.

Pole jednej podstawy sześciokąta foremnego o boku \(6\):
\[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt3}{4}=54\sqrt3.\]
Pole boczne:
\[P_b=(6\cdot6)\cdot6=216.\]
Pole całkowite:
\[P_c=2P_p+P_b=108\sqrt3+216.\]

Dłuższa przekątna podstawy sześciokąta foremnego ma długość \(12\), a wysokość graniastosłupa wynosi \(6\). Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość
\[d=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5.\]
Jej rzutem na podstawę jest przekątna długości \(12\), więc
\[\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.\]

Pierwszą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów (nie może być zerem). Drugą, różną od pierwszej, na \(9\) sposobów, trzecią na \(8\), a czwartą na \(7\). Zatem liczba takich liczb wynosi
\[9\cdot9\cdot8\cdot7.\]

Losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania ze zbioru \[ \{1,2,3,4,5\}. \] Liczba wszystkich uporządkowanych wyników wynosi \[ |\Omega|=5\cdot4=20. \] Liczby nieparzyste to \(1,3,5\). Aby obie wylosowane liczby były nieparzyste, pierwszą wybieramy na \(3\) sposoby, a drugą na \(2\) sposoby: \[ |A|=3\cdot2=6. \] Zatem \[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac6{20}=\frac3{10}. \]

Obliczamy średnią ważoną: \[ \frac{4800\cdot10+5100\cdot36+5500\cdot5+5900\cdot25+6400\cdot18+7500\cdot4+8600\cdot2}{100}. \] Suma wynagrodzeń wynosi \[ 569000\text{ zł}, \] więc \[ \frac{569000}{100}=5690\text{ zł}. \] Poprawna jest odpowiedź A.

Przychód wynosi \(P(x)=196x\), a koszt \(K(x)=4x^2+4x+240\). Zysk:
\[Z(x)=P(x)-K(x)=-4x^2+192x-240.\]
Jest to parabola skierowana ramionami w dół. Współrzędna wierzchołka:
\[x_w=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=24.\]
Zakład powinien wyprodukować \(24\) krzesła. Największy zysk:
\[Z(24)=-4\cdot24^2+192\cdot24-240=2064\text{ zł}.\]