Matura podstawowa grudzień 2024

Równanie z wartością bezwzględną rozpatrujemy w dwóch przypadkach:

\[ x+4=7 \quad \text{lub} \quad x+4=-7 \] \[ x_1=3, \qquad x_2=-11 \]
Zatem

\[ x_1+x_2=3+(-11)=-8. \]
Odpowiedź: B. (−8).

Zapisujemy pierwiastek i ułamek jako potęgi liczby \(5\):

\[ \left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac15\right)^{-5} =\left(5^{\frac15}\cdot 5^{-1}\right)^{-5} \] \[ =\left(5^{-\frac45}\right)^{-5} =5^4. \]
Odpowiedź: A. 5⁴.

Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg o podstawie \(2\):

\[ 2^{100}+4^{49}+16^{24} =2^{100}+(2^2)^{49}+(2^4)^{24} \] \[ =2^{100}+2^{98}+2^{96}. \]
Wyłączamy przed nawias \(2^{96}\):

\[ 2^{96}\left(2^4+2^2+1\right) =2^{96}(16+4+1) =21\cdot 2^{96}. \]
Otrzymana liczba ma czynnik \(21\), więc jest podzielna przez \(21\).

Korzystamy z własności logarytmów:

\[ 6\log_7 y=\log_7(y^6). \]
Zatem

\[ \log_7 x+6\log_7 y =\log_7 x+\log_7(y^6) =\log_7(xy^6). \]
Odpowiedź: D. log₇(xy⁶).

Po dwóch latach wartość lokaty wynosi

\[ 60000\left(1+\frac{p}{100}\right)^2=67925{,}76. \]
Dzielimy obie strony przez \(60000\):

\[ \left(1+\frac{p}{100}\right)^2=1{,}132096. \]
Ponieważ

\[ 1{,}064^2=1{,}132096, \]
to

\[ 1+\frac{p}{100}=1{,}064, \qquad \frac{p}{100}=0{,}064, \qquad p=6{,}4. \]
Odpowiedź: B. 6,4%.

Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność:

\[ \frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1} =\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{3x^2}. \]
Skracamy \(x+1\) oraz jeden czynnik \(x\):

\[ \frac{1}{3x(x-1)} =\frac{1}{3x^2-3x}. \]
Odpowiedź: B. 13x²−3x.

Podstawiamy \(x=-1\) i \(y=6\) do pierwszego równania:

\[ a\cdot(-1)+3\cdot6=20 \] \[ -a+18=20, \qquad a=-2. \]
Z drugiego równania:

\[ -1+6b=5 \] \[ 6b=6, \qquad b=1. \]
Zatem

\[ a\cdot b=(-2)\cdot1=-2. \]
Odpowiedź: A. (−2).

Najpierw zapisujemy konieczne założenie:

\[ x-1\neq0, \qquad 2x-2\neq0, \qquad x\neq1. \]
Mnożymy obie strony równania przez \((x-1)(2x-2)\):

\[ (x+3)(2x-2)=x(x-1). \]
Rozwijamy nawiasy i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

\[ 2x^2+4x-6=x^2-x, \] \[ x^2+5x-6=0. \]
Obliczamy deltę:

\[ \Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49. \] \[ \sqrt{\Delta}=7. \]
Wyznaczamy pierwiastki równania:

\[ x_1=\frac{-5-7}{2}=-6, \qquad x_2=\frac{-5+7}{2}=1. \]
Sprawdzamy otrzymane wyniki z założeniem \(x\neq1\). Liczba \(x_2=1\) nie należy do dziedziny równania, więc ją odrzucamy. Jedynym rozwiązaniem jest:

\[ x=-6. \]
Odpowiedź: \(x=-6\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

\[ x(x-6)\le 7 \] \[ x^2-6x-7\le0. \]
Rozkładamy trójmian na czynniki:

\[ x^2-6x-7=(x+1)(x-7). \]
Miejsca zerowe to

\[ x_1=-1, \qquad x_2=7. \]
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.


Wartości funkcji są niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem

\[ x\in[-1,7]. \]

Z definicji funkcji odczytujemy przedziały, dla których podano kolejne wzory.

1. Dziedzinę tworzy suma przedziałów: \[ (-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4]=(-4,4]. \] 2. Pierwsza część przyjmuje wartość \(3\). Druga część przyjmuje wartości od \(-1\) do \(3\), a trzecia — od \(-1\) do \(1\). Zatem: \[ W_f=[-1,3]. \] 3. Dla argumentów z przedziału \((1,3)\) wykres funkcji znajduje się pod osią \(OX\), więc funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Można to również sprawdzić z podanych wzorów. Dla drugiej części: \[ -x+1<0 \iff x>1, \] czyli \(x\in(1,2]\). Dla trzeciej części: \[ x-3<0 \iff x<3, \] czyli \(x\in(2,3)\). Łącznie: \[ x\in(1,3). \] 4. Największa wartość funkcji jest równa \(3\) i jest osiągana dla: \[ x\in(-4,-2]. \]

Wykres funkcji przechodzi przez punkty \((0,4)\) oraz \((2,0)\). Współczynnik kierunkowy jest równy: \[ a=\frac{0-4}{2-0}=-2, \] więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji ma przyprostokątne długości \(2\) i \(4\). Jego pole wynosi: \[ P=\frac12\cdot2\cdot4=4. \] Nie jest więc równe \(8\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Wierzchołkiem paraboli jest punkt \((3,0)\), a punkt \((0,-9)\) leży poniżej wierzchołka. Ramiona paraboli są więc skierowane w dół.

Funkcja rośnie do argumentu \(3\), a następnie maleje. Zatem jest malejąca w przedziale: \[ [3,+\infty). \] Odpowiedź: D.

Korzystamy z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne \((3,0)\), zapisujemy: \[ f(x)=a(x-3)^2. \] Parabola przechodzi przez punkt \((0,-9)\), więc: \[ -9=a(0-3)^2=9a, \] stąd \(a=-1\). Otrzymujemy: \[ f(x)=-(x-3)^2. \] Jest to odpowiedź B.

Po rozwinięciu: \[ f(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9, \] czyli również odpowiedź D.

Odpowiedź: B i D.

Mamy: \[ g(x)=f(x)-1=-(x-3)^2-1. \] Ponieważ \(-(x-3)^2\le 0\), to: \[ g(x)\le -1. \] Funkcja \(g\) nie ma miejsc zerowych, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w dół nie zmienia osi symetrii. Nadal jest nią prosta: \[ x=3. \] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: F, P.

Obliczamy: \[ f(36)=\log_6 36=\log_6 6^2=2. \] Wartość funkcji nie jest równa \(6\), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Podstawa logarytmu jest większa od \(1\), ponieważ \(6>1\). Funkcja \(f(x)=\log_6 x\) jest więc rosnąca.

Odpowiedź: F, P.

Kolejne wyrazy ciągu są równe: \[ a_1=3\cdot(-1)+10=7, \] \[ a_2=3\cdot1+10=13, \] \[ a_3=7,\quad a_4=13. \] Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Wśród ośmiu początkowych wyrazów cztery są równe \(7\), a cztery są równe \(13\). Zatem: \[ S_8=4\cdot7+4\cdot13=28+52=80. \] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: F, P.

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Zatem: \[ 4+2m=\frac{5m+m}{2}. \] Mnożymy obie strony równania przez \(2\): \[ 8+4m=6m, \] \[ 2m=8, \] \[ m=4. \] Odpowiedź: D. \(4\).

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru: \[ q=\frac{a_3}{a_2}. \] Podstawiamy dane: \[ q=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}} =\frac{1}{9}\cdot 6 =\frac{2}{3}. \] Od trzeciego do piątego wyrazu wykonujemy dwa kroki, więc: \[ a_5=a_3q^2. \] Zatem: \[ a_5=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^2 =\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9} =\frac{4}{81}. \] Odpowiedź: C. \(\frac{4}{81}\).

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a przeciwprostokątna ma długość: \[ |BC|=8. \] Dla kąta \(ABC\) bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest \(AC\), którego długość wynosi \(\sqrt{15}\). Zatem: \[ \sin \angle ABC=\frac{|AC|}{|BC|} =\frac{\sqrt{15}}{8}. \] Odpowiedź: D. \(\frac{\sqrt{15}}{8}\).

Najpierw obliczamy długość przyprostokątnej \(AB\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[ |AB|^2+|AC|^2=|BC|^2, \] \[ |AB|^2+15=64, \] \[ |AB|^2=49, \] \[ |AB|=7. \] Ponieważ \(|BD|=6\), to: \[ |AD|=|AB|-|BD|=7-6=1. \] W trójkącie prostokątnym \(ADC\): \[ \tan \angle ADC=\frac{|AC|}{|AD|} =\frac{\sqrt{15}}{1} =\sqrt{15}. \] Odpowiedź: A. \(\sqrt{15}\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \] Podstawiamy \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\): \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+\cos^2\alpha=1, \] \[ \frac{3}{16}+\cos^2\alpha=1, \] \[ \cos^2\alpha=\frac{13}{16}. \] Stąd: \[ |\cos\alpha|=\frac{\sqrt{13}}{4}. \] Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny: \[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{13}}{4}. \] Odpowiedź: A. \(-\frac{\sqrt{13}}{4}\).

Trójkąty \(ADC\) i \(ACB\) są podobne na podstawie cechy kąt–kąt–kąt:

• oba są trójkątami prostokątnymi,
• ponieważ \(AB\parallel DC\), to \(\angle ACD=\angle CAB\).

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję:

\[ \frac{|DC|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|}. \]
Podstawiamy dane:

\[ \frac{|DC|}{6}=\frac{6}{7{,}5}, \] \[ |DC|=\frac{36}{7{,}5}=4{,}8. \]
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) obliczamy długość boku \(BC\):

\[ |BC|=\sqrt{7{,}5^2-6^2}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5. \]
Z podobieństwa trójkątów:

\[ \frac{|AD|}{|BC|}=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6}{7{,}5}, \] \[ |AD|=4{,}5\cdot\frac{6}{7{,}5}=3{,}6. \]
Pole trapezu jest równe:

\[ P=\frac{(7{,}5+4{,}8)\cdot3{,}6}{2}=22{,}14. \]
Odpowiedź: \(22{,}14\).

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego:

\[ 2\cdot60^\circ=120^\circ. \]
Długość łuku wynosi:

\[ l=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=4\pi. \]
Odpowiedź: B. \(4\pi\).

Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu. Obliczamy jego długość:

\[ |AC|=\sqrt{(3-(-2))^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt2. \]
Jeżeli bok kwadratu ma długość \(a\), to jego przekątna ma długość \(a\sqrt2\). Zatem:

\[ a\sqrt2=5\sqrt2, \] \[ a=5. \]
Odpowiedź: A. \(5\).

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Prosta \(l\) ma więc równanie:

\[ y=-7x+6. \]
Punkt \((1,p)\) należy do tej prostej, więc:

\[ p=-7\cdot1+6=-1. \]
Odpowiedź: B. \(-1\).

Okrąg nie ma punktów wspólnych z osiami, gdy odległość jego środka od każdej osi jest większa od promienia.

Dla okręgu \(o_3\) środek ma współrzędne \((3,4)\), a promień jest równy \(2\). Odległości środka od osi wynoszą odpowiednio \(3\) i \(4\), a więc obie są większe od \(2\).

Pozostałe okręgi przecinają co najmniej jedną z osi albo są do niej styczne.

Odpowiedź: C. \(o_3\).

Niech \(S\) będzie wierzchołkiem ostrosłupa, \(O\) środkiem podstawy, a \(M\) środkiem boku podstawy. W przekroju prostopadłym do boku podstawy kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest równy \(\alpha\).

Ponieważ bok kwadratu ma długość \(4\), to:

\[ |OM|=2. \]
Dla wysokości ostrosłupa \(h=|SO|\):

\[ \tan\alpha=\frac{h}{2}=3. \]
Zatem:

\[ h=6. \]
Odpowiedź: B. \(6\).

Najdłuższa krawędź ma długość \(p\). Ponieważ długości krawędzi są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, pozostałe mają długości:

\[ p-2 \quad\text{oraz}\quad p-4. \]
Objętość prostopadłościanu wynosi:

\[ V=p(p-2)(p-4). \]
Po wymnożeniu:

\[ V=p(p^2-6p+8)=p^3-6p^2+8p. \]
Odpowiedź: D. \(p^3-6p^2+8p\).

Objętość stożka obliczamy ze wzoru:

\[ V=\frac13\pi r^2h. \]
Podstawiamy \(V=8\pi\) oraz \(h=2\):

\[ 8\pi=\frac13\pi r^2\cdot2, \] \[ r^2=12, \] \[ r=2\sqrt3. \]
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Połowę kąta rozwarcia oznaczmy przez \(\beta\). W powstałym trójkącie prostokątnym:

\[ \tan\beta=\frac{r}{h}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3. \]
Stąd \(\beta=60^\circ\). Kąt rozwarcia stożka ma więc miarę:

\[ 2\beta=120^\circ. \]
Odpowiedź: \(120^\circ\).

Pierwszą cyfrę można wybrać na \(3\) sposoby: \(1\), \(2\) lub \(3\), ponieważ liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera.

Każdą z trzech środkowych cyfr można wybrać na \(4\) sposoby. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta, więc można wybrać \(1\) albo \(3\), czyli mamy \(2\) możliwości.

Liczba takich liczb wynosi:

\[ 3\cdot4^3\cdot2=384. \]
Odpowiedź: B. \(384\).

Wszystkich możliwych wyników losowania jest:

\[ |\Omega|=6\cdot4=24. \]
Liczymy wyniki sprzyjające:

• dla liczby \(8\) ze zbioru \(D\) każdy iloczyn jest podzielny przez \(4\) — \(6\) wyników,
• dla liczby \(7\) tylko liczba \(4\) ze zbioru \(C\) daje odpowiedni iloczyn — \(1\) wynik,
• dla liczby \(9\) również tylko liczba \(4\) — \(1\) wynik,
• dla liczby \(10\) należy wylosować liczbę parzystą: \(2\), \(4\) lub \(6\) — \(3\) wyniki.

Zatem:

\[ |A|=6+1+1+3=11. \]
Prawdopodobieństwo wynosi:

\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{24}. \]
Odpowiedź: \(\frac{11}{24}\).

Średnią arytmetyczną obliczamy jako średnią ważoną:

\[ \overline{x}=\frac{4\cdot5+5\cdot8+6\cdot12+7\cdot13+8\cdot12}{50} =\frac{319}{50}=6{,}38. \]
Aby wyznaczyć medianę, rozpatrujemy \(25.\) i \(26.\) wartość w uporządkowanym zestawie \(50\) wyników.

Do liczby \(6\) włącznie znajduje się:

\[ 5+8+12=25 \]
wyników. Zatem \(25.\) wartością jest \(6\), a \(26.\) wartością jest \(7\). Mediana wynosi:

\[ \frac{6+7}{2}=6{,}5. \]
Odpowiedź: średnia \(6{,}38\), mediana \(6{,}5\).

Oznaczmy długość krawędzi \(AD\) przez \(y\). Mamy:

\[ |AB|=x,\qquad |AE|=3x,\qquad |AD|=y. \]
Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa:

\[ 4(x+3x+y)=48. \]
Stąd:

\[ 4x+y=12, \] \[ y=12-4x. \]
Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc:

\[ x>0 \quad\text{oraz}\quad 12-4x>0. \]
Dziedziną funkcji jest zatem:

\[ D_P=(0,3). \]
Pole powierzchni całkowitej wynosi:

\[ P(x)=2\bigl(x\cdot3x+x\cdot y+3x\cdot y\bigr). \]
Podstawiamy \(y=12-4x\):

\[ P(x)=2\bigl(3x^2+4x(12-4x)\bigr), \] \[ P(x)=-26x^2+96x. \]
Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największą wartość przyjmuje dla argumentu równego współrzędnej \(x\) wierzchołka:

\[ x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{96}{2\cdot(-26)}=\frac{24}{13}. \]
Liczba \(\frac{24}{13}\) należy do przedziału \((0,3)\), więc dla tej długości krawędzi \(AB\) pole powierzchni całkowitej jest największe.

Odpowiedź: \[ P(x)=-26x^2+96x,\qquad D_P=(0,3),\qquad x=\frac{24}{13}. \]