Matura podstawowa maj 2024

\[ |x-1|\ge 3 \] oznacza \[ x-1\le -3 \quad\text{lub}\quad x-1\ge 3. \] Zatem \[ x\le -2 \quad\text{lub}\quad x\ge 4. \] Końce przedziałów należą do rozwiązania, dlatego poprawny jest rysunek B.

\[ \left(\frac1{16}\right)^8\cdot 8^{16} =(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16} =2^{-32}\cdot2^{48} =2^{16}. \]

Rozwijamy kwadraty, korzystając ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[ (n+1)^2=n^2+2n+1, \] \[ (n+2)^2=n^2+4n+4. \]

Zatem

\[ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 =n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4). \] \[ =3n^2+6n+5 =3(n^2+2n+1)+2 =3(n+1)^2+2. \]

Liczba \(3(n+1)^2\) jest podzielna przez \(3\), więc cała liczba przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

\[ \log_{\sqrt3}9=x \] oznacza, że \[ (\sqrt3)^x=9. \]

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby \(3\):

\[ \left(3^{\frac12}\right)^x=3^2. \] \[ 3^{\frac{x}{2}}=3^2. \]

Porównujemy wykładniki:

\[ \frac{x}{2}=2, \] \[ x=4. \]

Rozwijamy oba kwadraty:

\[ (2a+b)^2=(2a)^2+2\cdot2a\cdot b+b^2 =4a^2+4ab+b^2, \] \[ (2a-b)^2=(2a)^2-2\cdot2a\cdot b+b^2 =4a^2-4ab+b^2. \]

Odejmujemy:

\[ (2a+b)^2-(2a-b)^2 \] \[ =(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2) \] \[ =4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2 =8ab. \]

\[ 1-\frac32x<\frac23-x. \]

Przenosimy wyrazy z \(x\) na lewą stronę, a liczby na prawą:

\[ -\frac32x+x<\frac23-1. \] \[ -\frac12x<-\frac13. \]

Mnożymy obie strony przez \(-2\). Ponieważ mnożymy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności:

\[ x>\frac23. \]

Zbiorem rozwiązań jest

\[ \left(\frac23,+\infty\right). \]

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero:

\[ (x+2)(x-3)\ne0. \] \[ x\ne-2,\qquad x\ne3. \]

Ułamek algebraiczny jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera:

\[ x+1=0. \] \[ x=-1. \]

Liczba \(-1\) należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

Pierwsze stwierdzenie: \[ 3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x=W(x), \] więc jest prawdziwe. Drugie stwierdzenie: \[ W(-1)=-3+6-9=-6\ne0, \] więc jest fałszywe.

\[ x^3-2x^2-3x+6=0. \] Grupujemy wyrazy: \[ x^2(x-2)-3(x-2)=0, \] \[ (x-2)(x^2-3)=0. \] Stąd \[ x=2 \quad\text{lub}\quad x^2=3, \] czyli \[ x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}. \]

Po roku w pierwszym sadzie pozostało \(0{,}95x\) drzew, a w drugim \(0{,}9y\) drzew. Łącznie początkowo posadzono: \[ x+y=1960. \] Liczba drzew w drugim sadzie stanowiła \(60\%\) liczby drzew w pierwszym: \[ 0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x. \] Jest to układ z odpowiedzi A.

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Na rysunku obie proste są malejące, a ich współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac32\). Warunek ten spełnia układ z odpowiedzi A.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: \[ -2k+3<0. \] \[ -2k<-3, \] a po podzieleniu przez liczbę ujemną: \[ k>\frac32. \]

Miejsce zerowe funkcji \[ f(x)=3x+6 \] wynosi \[ 3x+6=0 \Rightarrow x=-2. \] Funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe: \[ g(-2)=-2a+7=0. \] \[ a=\frac72. \]

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe: \(-2\) i \(4\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, dlatego \(f(x)\ge0\) pomiędzy miejscami zerowymi: \[ x\in[-2,4]. \]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,9)\), a ramiona są skierowane w dół. Postać kanoniczna ma więc postać \[ f(x)=-(x-1)^2+9. \]

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=1\). Liczby \(-4\) i \(6\) leżą w tej samej odległości od osi: \[ 1-(-4)=5,\qquad 6-1=5. \] Dlatego \[ f(-4)=f(6). \]

Funkcja \[ g(x)=f(x+3) \] powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(3\) jednostki w lewo. Wierzchołek przechodzi z \((1,9)\) do \((-2,9)\), więc jest to rysunek A. Funkcja \[ h(x)=f(-x) \] jest odbiciem wykresu \(f\) względem osi \(Oy\). Wierzchołek przechodzi do \((-1,9)\), więc jest to rysunek E.

\[ a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2. \] Zatem pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego — pierwsze zdanie jest prawdziwe. Dla \(n=7\): \[ a_7=(-1)^7(7-5)=-2, \] więc nie wszystkie wyrazy są dodatnie — drugie zdanie jest fałszywe.

Iloraz dwóch pierwszych wyrazów: \[ q=\frac6{12}=\frac12. \] Trzeci wyraz powinien być równy: \[ 6\cdot\frac12=3. \] \[ 2m-1=3 \Rightarrow 2m=4 \Rightarrow m=2. \] Ciąg \(12,6,3\) jest malejący.

Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. \]

Dla \(n=15\):

\[ -165=\frac{15(a_1+a_{15})}{2}. \]

Wyraz piętnasty ma postać

\[ a_{15}=a_1+14r. \]

Zatem

\[ -165=\frac{15(2a_1+14r)}{2}. \]

Po podzieleniu obu stron przez \(15\):

\[ -11=a_1+7r. \]

Z warunku \(a_3=-1\) mamy

\[ a_3=a_1+2r=-1. \]

Odejmujemy równania:

\[ (a_1+7r)-(a_1+2r)=-11-(-1). \] \[ 5r=-10, \] \[ r=-2. \]

Kąt \(\alpha\) leży w II ćwiartce, więc \[ \sin\alpha>0,\qquad \cos\alpha<0. \] Stąd \[ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0, \] czyli prawdziwa jest odpowiedź B. Ponadto \[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3, \] więc \[ \sin\alpha=-3\cos\alpha, \] czyli prawdziwa jest odpowiedź F.

\[ \sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin20^\circ =\sin20^\circ\left(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ\right) =\sin20^\circ. \]

Z twierdzenia o dwusiecznej: \[ \frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|ML|}. \] Po podstawieniu oznaczeń: \[ \frac cd=\frac ab. \] Mnożąc na krzyż, otrzymujemy \[ ad=bc. \]

Pole równoległoboku: \[ P=ab\sin\alpha. \] \[ P=3\cdot4\cdot\sin120^\circ =12\cdot\frac{\sqrt3}{2} =6\sqrt3. \]

Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(42^\circ\), więc oparty na tym samym łuku kąt środkowy: \[ \angle ASB=2\cdot42^\circ=84^\circ. \] Trójkąt \(ASB\) jest równoramienny, ponieważ \(SA=SB\). Zatem kąty przy podstawie mają miarę: \[ \frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ. \]

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają: \[ a_1a_2=-1. \] \[ (m+1)\cdot(-2)=-1. \] \[ m+1=\frac12, \] więc \[ m=-\frac12. \]

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc punkt \(P=(6,7)\) jest środkiem odcinka \(AC\).

Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:

\[ P=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right). \]

Dla \(A=(-2,6)\) otrzymujemy:

\[ \left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7). \]

Porównujemy współrzędne:

\[ \frac{-2+x_C}{2}=6 \Rightarrow -2+x_C=12 \Rightarrow x_C=14, \] \[ \frac{6+y_C}{2}=7 \Rightarrow 6+y_C=14 \Rightarrow y_C=8. \]

Zatem \(C=(14,8)\). Obliczamy długość boku \(BC\), gdzie \(B=(10,2)\):

\[ |BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} =\sqrt{4^2+6^2} =\sqrt{52} =2\sqrt{13}. \]

Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\): \[ P_p=\frac{3\sqrt3}{2}a^2. \] \[ \frac{3\sqrt3}{2}a^2=15\sqrt3. \] \[ a^2=10,\qquad a=\sqrt{10}. \] Jedna ściana boczna jest prostokątem o bokach \(6\) i \(\sqrt{10}\), więc: \[ P_b=6\sqrt{10}. \]

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek jednej podstawy z odpowiednim przeciwległym wierzchołkiem drugiej podstawy. Jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

Tę sytuację przedstawia rysunek D.

Stosunek objętości: \[ \frac{V_2}{V_1}=\frac{512}{64}=8. \] Jeżeli skala podobieństwa wynosi \(k\), to: \[ k^3=8 \Rightarrow k=2. \] Pola powierzchni zmieniają się w skali \(k^2\), więc: \[ \frac{P_2}{P_1}=2^2=4. \]

Każdy kod jest permutacją czterech różnych cyfr. Liczba takich kodów wynosi: \[ 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. \]

Skoro \[ \frac{a+b+c}{3}=9, \] to \[ a+b+c=27. \] Średnia sześciu liczb wynosi: \[ \frac{2a+2b+2c}{6} =\frac{2(a+b+c)}6 =\frac{54}{6}=9. \]

Liczba uczniów: \[ 2+7+4+3+6+4=26. \] Mediana jest średnią 13. i 14. wartości w szeregu uporządkowanym. Do oceny \(3\) włącznie mamy: \[ 2+7+4=13 \] wyników, więc 13. wartość to \(3\), a 14. wartość to \(4\). \[ Me=\frac{3+4}{2}=3{,}5. \]

Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość.

Liczby nieparzyste to \(5,7,9\), a parzyste to \(6,8\).

Wszystkie uporządkowane zdarzenia sprzyjające są następujące:

\[ (5,5),(5,7),(5,9), \] \[ (7,5),(7,7),(7,9), \] \[ (9,5),(9,7),(9,9), \] \[ (6,6),(6,8),(8,6),(8,8). \]

Jest ich \(13\).

Wszystkich uporządkowanych wyników jest

\[ 5\cdot5=25. \]

Zatem

\[ P(A)=\frac{13}{25}. \]

Z rysunku wynika, że na ogrodzenie zużyto: \[ 4x+6y=36. \] Stąd: \[ y=6-\frac23x. \] Suma pól trzech wybiegów: \[ P=3xy. \] Po podstawieniu: \[ P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)=18x-2x^2. \] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna \(x\) wierzchołka: \[ x_w=-\frac{18}{2\cdot(-2)}=\frac{18}{4}=4{,}5. \] \[ y=6-\frac23\cdot4{,}5=6-3=3. \] Największe pole otrzymamy dla: \[ x=4{,}5\text{ m},\qquad y=3\text{ m}. \]