Matura podstawowa sierpień 2024

Z nierówności \[ |x+1|<3 \] otrzymujemy \[ -3

Korzystamy z własności potęgi o wykładniku ujemnym: \[ \left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5} =\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac12} =\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{25}}} =\frac{1}{\frac25} =\frac52=2,5. \]

Rozwijamy wyrażenie: \[ (2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3. \] Zatem \[ (2n+5)^2+3=4n^2+20n+28 =4(n^2+5n+7). \] Ponieważ \(n^2+5n+7\) jest liczbą całkowitą, całe wyrażenie jest wielokrotnością liczby \(4\).

Korzystamy ze wzoru \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy). \] Mamy więc \[ \log_2 16+\log_2 9=\log_2(16\cdot 9)=\log_2 144, \] zatem prawdziwa jest odpowiedź C. Ponadto \[ \log_2 16+\log_2 9 =4+\log_2(3^2) =4+2\log_2 3, \] więc prawdziwa jest również odpowiedź E.

Rozwiązujemy nierówność: \[ \frac{3(6-x)}{17}\le 3. \] Dzielimy obie strony przez \(3\): \[ \frac{6-x}{17}\le 1. \] Mnożymy przez dodatnią liczbę \(17\): \[ 6-x\le 17. \] Stąd \[ -x\le 11, \] a po pomnożeniu przez \(-1\) i zmianie zwrotu nierówności: \[ x\ge -11. \] Zbiorem rozwiązań jest przedział \[ [-11,+\infty). \]

Ułamek jest równy zero wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Dziedzina: \[ 2x+4\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -2. \] Licznik: \[ x(x+5)(2-x)=0. \] Stąd \[ x=0,\qquad x=-5,\qquad x=2. \] Żadna z tych liczb nie jest wykluczona z dziedziny, więc równanie ma trzy rozwiązania: \[ -5,\ 0,\ 2. \]

Grupujemy wyrazy: \[ x^3+5x^2-2x-10=0, \] \[ x^2(x+5)-2(x+5)=0. \] Wyłączamy wspólny czynnik: \[ (x+5)(x^2-2)=0. \] Zatem \[ x+5=0 \] lub \[ x^2-2=0. \] Otrzymujemy: \[ x=-5 \] oraz \[ x=\pm\sqrt2. \] Zbiór rozwiązań: \[ \{-5,-\sqrt2,\sqrt2\}. \]

Pierwsza prosta jest malejąca i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), więc ma równanie \[ y=-x+2. \] Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy \(2\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), więc ma równanie \[ y=2x-3. \] Jest to układ z odpowiedzi B.

Z tabeli odczytujemy wartości funkcji: \[ -3,\,-4,\,4,\,1,\,5,\,0,\,2. \] Największa wartość funkcji to \[ 5, \] więc w punkcie 9.1 wybieramy odpowiedź D. Miejsce zerowe to argument, dla którego \(f(x)=0\). Z tabeli: \[ f(4)=0, \] więc miejscem zerowym jest \(x=4\). W punkcie 9.2 wybieramy odpowiedź C.

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia: \[ \tan\alpha=\frac{\sqrt3}{3}. \] Ponieważ \[ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}, \] to \[ \alpha=30^\circ. \] Zatem \[ \sin\alpha=\sin30^\circ=\frac12. \]

Masa bańki z mlekiem jest opisana funkcją \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5. \] Jej współczynnik kierunkowy \(1{,}03\) jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca. Pierwsze zdanie jest więc fałszywe. Dla \(x\in[0,10]\) mamy \[ f(x)\ge f(0)=6{,}5>0, \] zatem funkcja nie ma miejsca zerowego w swojej dziedzinie. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Funkcja \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5 \] jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[ f(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8. \]

Pusta bańka ma masę \(6{,}5\) kg, a każdy litr mleka zwiększa jej masę o \(1{,}03\) kg. Dla \(x\) litrów mleka masa całkowita wynosi więc \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5. \]

Z wykresu odczytujemy, że parabola jest skierowana ramionami do góry, a jej wierzchołek ma współrzędne \[ (1,-2). \] Najmniejszą wartością funkcji jest więc \(-2\), a funkcja przyjmuje wszystkie wartości większe lub równe \(-2\): \[ [-2,+\infty). \]

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą \(1\), dlatego równanie osi symetrii ma postać \[ x=1. \]

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli: \[ W=(1,-2). \] Wzór w postaci kanonicznej musi więc mieć postać \[ f(x)=a(x-1)^2-2. \] Parabola jest skierowana ramionami do góry, więc \(a>0\). Spośród podanych odpowiedzi warunki te spełnia: \[ f(x)=\frac12(x-1)^2-2. \]

Korzystamy ze związku \[ a_n=S_n-S_{n-1}. \] Obliczamy: \[ S_3=3^2+2\cdot3=9+6=15, \] \[ S_2=2^2+2\cdot2=4+4=8. \] Zatem \[ a_3=S_3-S_2=15-8=7. \]

W ciągu geometrycznym: \[ a_5=a_2q^3. \] Podstawiamy dane: \[ 54=2q^3. \] Stąd \[ q^3=27, \] czyli \[ q=3. \]

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[ 4=\frac{(2m-5)+9}{2}. \] Zatem \[ 8=2m+4, \] \[ 2m=4, \] \[ m=2. \] Ciąg ma wtedy postać \[ (-1,4,9), \] więc jest rosnący. Wybieramy odpowiedzi A oraz 2.

Dla kąta ostrego: \[ \cos\alpha=\frac{24}{25}. \] Możemy przyjąć, że w trójkącie prostokątnym przyprostokątna przyległa ma długość \(24\), a przeciwprostokątna \(25\). Druga przyprostokątna ma długość: \[ \sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7. \] Zatem \[ \tan\alpha=\frac{7}{24}. \]

Ponieważ \[ \sin\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac35, \] możemy zapisać: \[ BC=3k,\qquad AB=5k. \] Przeciwprostokątna jest o \(8\) dłuższa od przyprostokątnej \(BC\), więc \[ 5k-3k=8. \] Stąd \[ 2k=8,\qquad k=4. \] Zatem \[ AB=5k=20. \]

Korzystamy z twierdzenia cosinusów: \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC. \] Podstawiamy: \[ BC^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\frac35. \] Zatem \[ BC^2=25+4-12=17, \] więc \[ BC=\sqrt{17}. \]

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu. Zaznaczony kąt środkowy ma miarę \[ 160^\circ. \] Kąt wpisany \(\angle KLM\) jest oparty na drugim, większym łuku \(KM\). Miara tego łuku wynosi: \[ 360^\circ-160^\circ=200^\circ. \] Miara kąta wpisanego jest równa połowie miary łuku, na którym ten kąt jest oparty, zatem: \[ \angle KLM=\frac{200^\circ}{2}=100^\circ. \]

Trójkąty \(AEB\) i \(DEC\) są podobne na mocy cechy kąt–kąt–kąt. Oba trójkąty są prostokątne: \[ \angle EAB=\angle EDC=90^\circ, \] a kąty \[ \angle AEB \quad\text{i}\quad \angle DEC \] są kątami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Zatem także trzecie kąty są równe. Niech \[ AE=x. \] Wtedy \[ ED=24-x. \] Z podobieństwa trójkątów: \[ \frac{AE}{ED}=\frac{AB}{DC}. \] Podstawiamy dane: \[ \frac{x}{24-x}=\frac{12}{6}=2. \] Stąd: \[ x=2(24-x), \] \[ x=48-2x, \] \[ 3x=48, \] \[ x=16. \] Zatem \[ AE=16. \] W trójkącie prostokątnym \(AEB\), korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \[ BE^2=AE^2+AB^2, \] \[ BE^2=16^2+12^2=256+144=400, \] więc \[ BE=20. \]

Najpierw wyznaczamy współrzędne punktu \(A\), który jest punktem przecięcia prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\): \[ \frac12x-1=2x-4. \] Stąd: \[ 3=\frac32x, \] \[ x=2. \] Wtedy: \[ y=\frac12\cdot2-1=0, \] czyli \[ A=(2,0). \] Punkt \(S=(9,11)\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka: \[ S=\left(\frac{x_A+x_C}2,\frac{y_A+y_C}2\right). \] Zatem: \[ 9=\frac{2+x_C}2, \qquad 11=\frac{0+y_C}2. \] Stąd: \[ x_C=16, \qquad y_C=22, \] więc \[ C=(16,22). \] W równoległoboku bok \(BC\) jest równoległy do boku \(AD\). Prosta zawierająca bok \(AD\) ma współczynnik kierunkowy równy \(2\), dlatego prosta zawierająca bok \(BC\) ma postać: \[ y=2x+b. \] Ponieważ przechodzi przez punkt \(C=(16,22)\), mamy: \[ 22=2\cdot16+b, \] \[ b=-10. \] Zatem prosta zawierająca bok \(BC\) ma równanie: \[ y=2x-10. \] Punkt \(B\) leży również na prostej zawierającej bok \(AB\): \[ y=\frac12x-1. \] Rozwiązujemy więc układ równań: \[ \begin{cases} y=\frac12x-1,\\ y=2x-10. \end{cases} \] Porównujemy prawe strony: \[ \frac12x-1=2x-10. \] Stąd: \[ 9=\frac32x, \] \[ x=6. \] Wtedy: \[ y=\frac12\cdot6-1=2. \] Ostatecznie: \[ B=(6,2). \]

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[ 3m-2=2m+4. \] Stąd \[ m=6. \]

Środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\): \[ S=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3). \] Promień jest równy odległości środka od punktu \(A\): \[ r^2=(-4-1)^2+(7-3)^2=25+16=41. \] Równanie okręgu ma więc postać \[ (x-1)^2+(y-3)^2=41. \]

Jeżeli podstawa ostrosłupa jest \(n\)-kątem, to ostrosłup ma: \[ n \] ścian bocznych oraz jedną podstawę, czyli łącznie \[ n+1 \] ścian. Z warunku: \[ n+1=12, \] więc \[ n=11. \] Ostrosłup ma \(11\) wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek główny, czyli razem \[ 12 \] wierzchołków.

Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, z których największa jest równa \(10\), to: \[ 6,\ 8,\ 10. \] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: \[ P_c=2(ab+ac+bc). \] Zatem \[ P_c=2(6\cdot8+6\cdot10+8\cdot10), \] \[ P_c=2(48+60+80)=2\cdot188=376. \]

Odcinek \(AB\) jest prostopadły do ściany \(ADHE\), więc trójkąt \(ABH\) jest prostokątny w punkcie \(A\). W tym trójkącie: \[ \angle BHA=30^\circ,\qquad AB=6. \] Korzystamy z definicji sinusa: \[ \sin30^\circ=\frac{AB}{BH}. \] Zatem \[ \frac12=\frac6{BH}, \] więc \[ BH=12. \]

Niech cyfrą jedności będzie \(a\). Cyfra dziesiątek ma wtedy wartość \[ a+3. \] Aby była cyfrą, musi zachodzić: \[ a+3\le 9, \] czyli \[ a\le 6. \] Cyfra jedności może więc być równa: \[ 0,1,2,3,4,5,6. \] Otrzymujemy \(7\) liczb: \[ 30,41,52,63,74,85,96. \]

Obliczamy sumę wszystkich zdobytych punktów: \[ 0\cdot2+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot11+5\cdot6. \] Zatem \[ 0+2+10+18+44+30=104. \] Liczba uczniów wynosi \(32\), więc średnia jest równa: \[ \frac{104}{32}=3{,}25. \]

Wszystkich możliwych wyników jest: \[ |C|\cdot|D|=5\cdot3=15. \] Suma jest większa od \(9\) w następujących przypadkach: \[ 7+3=10, \] oraz \[ 9+1=10,\qquad 9+2=11,\qquad 9+3=12. \] Mamy więc \(4\) wyniki sprzyjające. Prawdopodobieństwo: \[ P(A)=\frac4{15}. \]

Z warunku \[ x+y=12 \] otrzymujemy \[ y=12-x. \] Rozważane wyrażenie zapisujemy jako funkcję zmiennej \(x\): \[ f(x)=2x^2+(12-x)^2. \] Po wykonaniu działań: \[ f(x)=2x^2+x^2-24x+144, \] czyli \[ f(x)=3x^2-24x+144. \] Jest to funkcja kwadratowa o współczynnikach: \[ a=3,\qquad b=-24. \] Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa: \[ p=-\frac{b}{2a} =-\frac{-24}{2\cdot3} =\frac{24}{6} =4. \] Zatem najmniejsza wartość występuje dla \[ x=4. \] Wtedy \[ y=12-4=8. \] Obliczamy wartość wyrażenia: \[ 2x^2+y^2 =2\cdot4^2+8^2 =32+64 =96. \] Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi więc \[ 96. \]