Matura podstawowa czerwiec 2025

Równanie ma postać:

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Iloczyn rozwiązań:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Zapisujemy liczby jako potęgi dwójki:

Sprawdzamy pierwsze zdanie:

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Sprawdzamy drugie zdanie:

To nie jest równe \(\log_3 10\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

Obliczamy:

Rozwijamy kwadrat sumy:

Ponieważ:

otrzymujemy:

Skoro liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), to istnieje liczba całkowita \(k\), taka że:

Skoro liczba \(b\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), to istnieje liczba całkowita \(l\), taka że:

Obliczamy różnicę kwadratów:

Wyłączamy \(5\) przed nawias:

Ponieważ \(k\) i \(l\) są liczbami całkowitymi, wyrażenie w nawiasie również jest liczbą całkowitą.

Zatem liczba \(a^2-b^2\) jest iloczynem liczby \(5\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(5\).

Rozwiązujemy nierówność:

Upraszczamy lewą stronę:

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę:

Ponieważ \(\frac{15}{4}=3{,}75\), największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(3\).

Równanie ma postać:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Równanie ma trzy różne rozwiązania:

Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) — liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie.

Po roku w pierwszym sadzie zostało \(80\%\) drzew, czyli:

W drugim sadzie zostało \(85\%\) drzew, czyli:

Z treści zadania wiemy, że liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła \(70\%\) liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie:

Zamieniamy liczby dziesiętne na ułamki:

Podstawiamy do równania \(x+y=1410\):

Rozwiązujemy nierówność:

Rozwijamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

Obliczamy miejsca zerowe:

Parabola \(y=x^2+3x+2\) ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(x^2+3x+2\lt0\) jest spełniona między miejscami zerowymi.

Funkcja jest określona wzorem:

1. Dziedzina funkcji

Łączymy wszystkie przedziały, na których funkcja jest określona:

2. Zbiór wartości funkcji

Z wykresu i wzoru funkcji odczytujemy, że najmniejszą wartością jest \(0\), a największą \(3\).

3. Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to argumenty, dla których \(f(x)=0\). Funkcja przyjmuje wartość \(0\) dla:

4. Rozwiązania nierówności \(f(x)

Najpierw obliczamy:

Szukamy więc tych argumentów, dla których:

Z wykresu oraz wzoru funkcji otrzymujemy:

Funkcja liniowa jest określona wzorem:

Miejsce zerowe funkcji spełnia równanie:

Z treści zadania wiemy, że miejsce zerowe jest większe od \(2\), więc:

Funkcja \(f\) jest określona wzorem:

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza, że w miejsce \(x\) podstawiamy \(x-1\):

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta:

Jednym z miejsc zerowych jest liczba \(1\). Drugie miejsce zerowe leży symetrycznie względem osi \(x=-1\).

Odległość liczby \(1\) od \(-1\) wynosi \(2\), więc drugie miejsce zerowe to:

Funkcję możemy zapisać w postaci iloczynowej:

Wykres przechodzi przez punkt \((2,15)\), więc podstawiamy \(x=2\) oraz \(f(2)=15\):

Zatem:

Wierzchołek ma współrzędną \(x=-1\). Obliczamy jego drugą współrzędną:

Wierzchołek ma więc współrzędne \((-1,-12)\), a postać kanoniczna to:

Ciąg jest określony wzorem:

Obliczamy trzy pierwsze wyrazy:

Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów:

Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.

Obliczone wyrazy ciągu to:

Różnice kolejnych wyrazów:

Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Sprawdzamy drugie stwierdzenie.

Iloczyn \(n(n-1)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc zawsze jest liczbą parzystą.

Zatem \(3n(n-1)\) również jest liczbą parzystą.

W ciągu arytmetycznym mamy:

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Dla \(n=25\):

Podstawiamy dane:

Do obliczenia sumy \(25\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego korzystamy ze wzoru:

Podstawiamy \(n=25\), \(a_1=52\), \(a_{25}=2\):

Trzywyrazowy ciąg \((4,m,m-1)\) jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

Rozwiązujemy równanie:

Rozwiązujemy metodą delty:

Upraszczamy wyrażenie:

W liczniku wyłączamy \(\sin25^\circ\) przed nawias:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

Otrzymujemy:

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\).

Wiemy, że:

Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.

Z jedynki trygonometrycznej:

Zatem \(\cos\alpha\neq \frac37\), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

W trójkącie prostokątnym kąty ostre są dopełniające:

Dlatego:

Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Trójkąt jest prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\).

Dla trójkąta prostokątnego promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:

gdzie \(a\) i \(b\) to przyprostokątne, a \(c\) to przeciwprostokątna.

Podstawiamy:

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej.

Promień okręgu opisanego jest więc równy połowie długości przeciwprostokątnej.

Dziesięciokąt foremny ma \(10\) równych łuków na okręgu opisanym.

Miara jednego łuku, czyli jednego kąta środkowego, wynosi:

Kąt wpisany \(\angle AGD\) jest oparty na łuku \(AD\), który nie zawiera punktu \(G\).

Łuk od \(A\) do \(D\) przechodzi przez trzy kolejne odcinki:

Jego miara jest więc równa:

Kąt wpisany jest równy połowie miary łuku, na którym jest oparty:

Niech \(a\) oznacza długość boku kwadratu \(\mathcal K_1\).

Kwadrat \(\mathcal K_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal K_1\) w skali \(5\), więc jego bok ma długość:

Pole kwadratu \(\mathcal K_1\):

Pole kwadratu \(\mathcal K_2\):

Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\), więc:

Prosta \(k\) ma równanie:

Jej współczynnik kierunkowy jest równy \(5\).

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\), więc ma taki sam współczynnik kierunkowy:

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), więc jej wyraz wolny jest równy \(-4\).

Równanie prostej \(l\):

Punkt \((p,2)\) należy do tej prostej, więc podstawiamy \(x=p\) oraz \(y=2\):

Okrąg \(\mathcal O\) ma równanie:

Środek tego okręgu ma współrzędne:

Promień okręgu jest równy \(3\), ponieważ:

Symetria osiowa względem osi \(Oy\) zmienia znak współrzędnej \(x\), a współrzędna \(y\) pozostaje bez zmian.

Obrazem okręgu jest więc okrąg o środku \((1,2)\) i promieniu \(3\):

Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\).

Oznaczmy te długości przez:

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:

Podstawiamy długości krawędzi:

Objętość prostopadłościanu:

Niech \(P_p\) oznacza pole podstawy ostrosłupa.

Pole powierzchni bocznej jest cztery razy większe od pola podstawy, więc:

Pole powierzchni całkowitej wynosi:

Podstawiamy:

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Jeśli \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy, to:

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym.

Tworząca stożka ma długość \(6\), a kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^\circ\).

Wysokość stożka dzieli ten kąt na dwa kąty po \(30^\circ\).

Otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość \(6\), a wysokość stożka leży przy kącie \(30^\circ\).

Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, a zbiór \(Y\) ma \(4\) elementy.

Liczba wszystkich możliwych uporządkowanych par \((x,y)\) jest równa:

Szukamy par spełniających warunek:

Iloczyn jest nieujemny, gdy:

• obie liczby są dodatnie,

• obie liczby są ujemne,

• co najmniej jedna z nich jest równa \(0\).

1. Obie liczby ujemne

W zbiorze \(X\) są trzy liczby ujemne: \(-3,-2,-1\).

W zbiorze \(Y\) są dwie liczby ujemne: \(-2,-1\).

2. Obie liczby dodatnie

W zbiorze \(X\) są dwie liczby dodatnie: \(1,2\).

W zbiorze \(Y\) jest jedna liczba dodatnia: \(1\).

3. Iloczyn równy zero

Iloczyn jest równy zero, gdy \(x=0\) lub \(y=0\).

Dla \(x=0\) mamy \(4\) par, a dla \(y=0\) mamy \(6\) par. Para \((0,0)\) została policzona dwa razy, więc:

Liczba par sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych parzystych, w których dokładnie jeden raz występuje cyfra \(0\).

Przypadek 1: cyfra jedności to \(0\)

Liczba ma postać:

Cyfra setek \(a\) może być jedną z cyfr \(1,2,\ldots,9\), czyli \(9\) możliwości.

Cyfra dziesiątek \(b\) też nie może być zerem, więc ma \(9\) możliwości.

Przypadek 2: cyfra dziesiątek to \(0\)

Liczba ma postać:

Cyfra setek \(a\) ma \(9\) możliwości.

Cyfra jedności \(c\) musi być parzysta i różna od \(0\), więc:

czyli \(4\) możliwości.

Łącznie:

Średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) jest równa \(12\), więc:

Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb:

Ich suma jest równa:

Średnia sześciu liczb:

Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną.

Suma punktów zdobytych przez wszystkich uczniów:

Liczba uczniów:

Średnia arytmetyczna:

Wynik niższy od średniej, czyli niższy od \(3\), uzyskali uczniowie, którzy otrzymali \(0\), \(1\) albo \(2\) punkty:

Teraz wyznaczamy medianę. Jest \(32\) wyników, więc mediana jest średnią arytmetyczną 16. i 17. wyniku po uporządkowaniu.

Rozkład wyników:

Do wyniku \(2\) włącznie mamy:

Wyniki równe \(3\) zajmują miejsca od 12. do 16., więc 16. wynik to \(3\).

Wyniki równe \(4\) zaczynają się od miejsca 17., więc 17. wynik to \(4\).

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej uczniów, bo \(11\), otrzymało \(4\) punkty.

Zysk jest opisany wzorem:

Rozwijamy iloczyn:

Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół, więc największa wartość występuje w wierzchołku.

Współrzędna \(x\) wierzchołka:

Dla \(a=-50\), \(b=300\):

Liczba \(3\) spełnia warunki \(x\ge1\) oraz \(x\le14\).