Matura podstawowa maj 2025

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw upraszczamy pierwiastek:

Zatem:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Wyłączamy w liczniku \(5^{12}\) przed nawias:

Skracamy \(5^{12}\):

Korzystamy z własności logarytmów:

Zapisujemy \(2\log_3 2\) jako \(\log_3 2^2\):

Różnica logarytmów to logarytm ilorazu:

Rozwijamy oba kwadraty:

Odejmujemy:

Niech \(n\) będzie nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy istnieje liczba całkowita \(k\), taka że:

Podstawiamy do wyrażenia:

Rozwijamy:

Wyłączamy \(4\) przed nawias:

Wyrażenie ma postać \(4\) razy liczba całkowita, więc jest podzielne przez \(4\).

Rozwiązujemy nierówność:

Rozwijamy nawias:

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę, liczby na drugą:

Na osi liczbowej jest to przedział:

Rozwiązujemy równanie:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Ostatni czynnik:

nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo \(x^2\ge0\), więc \(x^2+25>0\).

Upraszczamy wyrażenie:

Rozkładamy na czynniki:

Podstawiamy:

Skracamy \(x\) oraz jeden czynnik \(x+2\):

Niech \(x\) oznacza kwotę przyznaną zespołowi A.

Wtedy zespół B otrzymał:

Zespół A wykorzystał \(13\%\) swojej kwoty, a zespół B \(11\%\) swojej kwoty. Łącznie wykorzystano \(146700\) zł, więc:

Rozwiązujemy równanie:

Rozwiązujemy nierówność:

Rozwijamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

Obliczamy miejsca zerowe:

Parabola \(y=6x^2-11x+3\) ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(6x^2-11x+3<0\) jest spełniona między miejscami zerowymi.

Funkcja jest określona trzema wzorami:

1. Dziedzina funkcji

Dziedziną jest suma przedziałów, na których funkcja jest określona:

2. Zbiór wartości funkcji

Dla pierwszego wzoru \(x+5\), gdy \(x\in[-4,-2]\), otrzymujemy wartości od \(1\) do \(3\).

Dla drugiego wzoru funkcja ma wartość stałą \(3\).

Dla trzeciego wzoru \(-3x+9\), gdy \(x\in(2,4)\), wartości są większe od \(-3\) i mniejsze od \(3\).

Zatem zbiór wartości to:

3. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie

Na dwóch pierwszych częściach wykresu funkcja jest dodatnia dla \(x\in[-4,2]\).

Dla trzeciego wzoru rozwiązujemy nierówność:

Uwzględniając przedział \((2,4)\), dostajemy \((2,3)\). Razem:

4. Rozwiązania równania \(f(x)=3\)

Dla pierwszego wzoru:

Dla drugiego wzoru \(f(x)=3\) dla każdego \(x\in(-2,2]\).

Dla trzeciego wzoru:

ale \(x=2\) nie należy do przedziału \((2,4)\). Jest jednak ujęty w drugim przedziale.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma wzór:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,6)\), więc:

Zatem:

Parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), czyli:

Podstawiamy \(x=0\):

Ostatecznie:

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek.

Wierzchołek ma współrzędne:

Dlatego oś symetrii ma równanie:

Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

Miejsca zerowe funkcji \(g\) spełniają warunek:

Z wykresu oraz z treści zadania wiemy, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), więc jednym rozwiązaniem jest:

Oś symetrii paraboli to \(x=3\), więc drugi punkt o tej samej wartości \(y=3\) leży symetrycznie względem tej osi.

Suma miejsc zerowych funkcji \(g\):

Funkcja liniowa ma wzór:

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera.

Współczynnik przy \(x\) musi być równy zero:

Wtedy funkcja ma postać:

Jest stała i nie przyjmuje wartości \(0\), więc nie ma miejsca zerowego.

Ciąg jest określony rekurencyjnie:

Obliczamy kolejne wyrazy:

Obliczamy pierwsze wyrazy ciągu:

Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

Różnice kolejnych wyrazów:

Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

Ilorazy kolejnych wyrazów:

Ilorazy nie są równe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Trzywyrazowy ciąg:

jest arytmetyczny, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, czyli:

Rozwiązujemy równanie:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

Sprawdzamy warunek, że ciąg ma być malejący.

Dla \(m=-2\):

Ciąg nie jest malejący.

Dla \(m=\frac52\):

Otrzymujemy:

czyli ciąg jest malejący.

Dany jest ciąg geometryczny, w którym:

Obliczamy iloraz ciągu:

Kolejne wyrazy:

Dany jest warunek:

Korzystamy ze wzoru:

Podstawiamy:

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha\neq0\). Dzielimy obie strony przez \(\sin\alpha\):

Mnożymy przez \(\cos\alpha\):

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a \(BC\) jest przeciwprostokątną, więc kąt prosty leży przy wierzchołku \(A\).

Odcinek \(CD\) jest środkową, więc punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\).

Dane jest:

W trójkącie prostokątnym \(ADC\) znamy przeciwprostokątną \(CD=5\) i przyprostokątną \(AD=3\). Obliczamy \(AC\):

Kąt \(\alpha\) to kąt \(ADC\). Dla tego kąta bokiem przeciwległym jest \(AC=4\), a bokiem przyległym jest \(AD=3\).

Z rozwiązania zadania 18.1 mamy:

Obliczamy przeciwprostokątną \(BC\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\):

Kąt \(\beta\) leży przy wierzchołku \(B\), więc bokiem przeciwległym do tego kąta jest \(AC=4\), a przeciwprostokątną jest \(BC=2\sqrt{13}\).

Kąt \(BCA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\).

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą:

W trójkącie \(AOB\) mamy:

bo są to promienie okręgu. Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny.

Miary kątów przy podstawie \(AB\) są równe:

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc:

Dane są długości boków trójkąta \(ABC\):

Trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Z zapisu podobieństwa wynika przyporządkowanie wierzchołków:

Zatem bokowi \(AC\) odpowiada bok \(BA\), a bokowi \(AB\) odpowiada bok \(BD\).

Skala podobieństwa od trójkąta \(ABC\) do trójkąta \(BDA\):

Dlatego:

Dane są:

Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.

Obliczamy długość boku \(AC\) z twierdzenia cosinusów:

Boki trójkąta mają długości \(11\), \(12\), \(\sqrt{133}\), więc nie ma dwóch równych boków.

Sprawdzamy drugie stwierdzenie.

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:

Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, czyli środkiem przekątnej.

Dane są:

Obliczamy długość odcinka \(AS\):

Odcinek \(AS\) jest połową przekątnej kwadratu, więc przekątna ma długość:

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) to \(m-2\), a prostej \(l\) to \(-4\).

Środek okręgu ma współrzędne:

Okrąg przechodzi przez punkt:

Obliczamy kwadrat promienia:

Równanie okręgu o środku \((2,4)\) i promieniu spełniającym \(r^2=20\) ma postać:

Tworząca stożka ma długość:

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\). W przekroju osiowym wysokość stożka dzieli ten kąt na dwa kąty po \(60^\circ\).

W otrzymanym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątną jest tworząca \(l=8\).

Promień podstawy:

Wysokość stożka:

Objętość stożka:

Objętość sześcianu jest równa:

Jeśli \(a\) oznacza długość krawędzi sześcianu, to:

Przekątna sześcianu ma długość:

Szukamy liczb trzycyfrowych nieparzystych, w których dokładnie jeden raz występuje cyfra \(0\).

Liczba ma postać:

Ponieważ liczba jest nieparzysta, cyfra jedności \(c\) musi być jedną z cyfr:

czyli mamy \(5\) możliwości.

Cyfra \(0\) nie może być na miejscu setek, bo liczba nie byłaby trzycyfrowa. Nie może też być na miejscu jedności, bo liczba nie byłaby nieparzysta.

Zatem cyfra \(0\) musi być cyfrą dziesiątek:

Cyfra setek \(a\) może być jedną z cyfr \(1,2,\ldots,9\), czyli mamy \(9\) możliwości.

Liczba takich liczb:

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką.

Liczba wszystkich możliwych wyników to:

Suma oczek ma być równa \(11\). Możliwe wyniki to:

Są więc \(2\) wyniki sprzyjające.

Prawdopodobieństwo:

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

jest równa \(3\), więc suma tych siedmiu liczb jest równa:

Suma znanych pięciu liczb:

Zatem:

Z diagramu odczytujemy liczby uczniów dla poszczególnych ocen:

Razem jest:

Mediana

Jest \(24\) uczniów, więc mediana jest średnią 12. i 13. wyniku po uporządkowaniu.

Ustalamy miejsca:

Zatem 12. wynik to \(4\), a 13. wynik to \(5\).

Dominanta

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej uczniów, bo \(7\), uzyskało ocenę \(6\).

W prostopadłościanie trzy krawędzie wychodzące z wierzchołka \(B\) mają długości:

Suma długości tych krawędzi jest równa \(15\), więc:

Dziedzina

Długości krawędzi muszą być dodatnie:

Zatem:

Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej

Wymiary prostopadłościanu to:

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

Podstawiamy:

Największe pole

Funkcja \(P(x)\) jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku paraboli.

Dla:

otrzymujemy: