Matura podstawowa sierpień 2025

Ponieważ \(\sqrt5<3\), to \(|\sqrt5-3|=3-\sqrt5\). Ponieważ \(\sqrt5>1\), to \(|\sqrt5-1|=\sqrt5-1\). Zatem \((3-\sqrt5)+(\sqrt5-1)=2\).

\(25^{-2}=(5^2)^{-2}=5^{-4}\), a \(125^{-4}=(5^3)^{-4}=5^{-12}\). Dlatego \(\frac{25^{-2}}{125^{-4}}=\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^8\).

\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot3}=2\sqrt[3]{3}\), a \(\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot3}=4\sqrt[3]{3}\). Suma wynosi \(6\sqrt[3]{3}\).

\(\log_3 2-\log_3 18=\log_3\left(\frac{2}{18}\right)=\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=\log_3(3^{-2})=-2\).

\(8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=2^{145}\cdot31\). Liczba ma czynnik \(31\), więc jest podzielna przez \(31\).

Korzystamy ze wzoru \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab\). Dla \(a=3x\), \(b=y\) dostajemy \(4\cdot3x\cdot y=12xy\).

\(3-x\ge\frac{5x-1}{2}\). Mnożymy przez \(2\): \(6-2x\ge5x-1\), więc \(7\ge7x\), czyli \(x\le1\).

Mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\): \(3(x-8)=5x(3x-7)\). Otrzymujemy \(3x-24=15x^2-35x\), czyli \(15x^2-38x+24=0\). \(\Delta=4\), więc \(x=\frac{38-2}{30}=\frac65\) albo \(x=\frac{38+2}{30}=\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(\frac43\).

\(-3x^2>6x-9\). Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ -3x^2-6x+9>0 \]
Rozważamy parabolę:

\[ y=-3x^2-6x+9 \]
Obliczamy miejsca zerowe z delty:

\[ a=-3,\quad b=-6,\quad c=9 \] \[ \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot(-3)\cdot9=36+108=144 \] \[ \sqrt{\Delta}=12 \] \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6-12}{-6}=1 \] \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6+12}{-6}=-3 \]
Parabola ma ramiona skierowane w dół, ponieważ \(a=-3<0\).


Z rysunku widać, że parabola jest nad osią \(OX\) między miejscami zerowymi \(-3\) i \(1\).

\[ x\in(-3,1) \]

Iloczyn jest równy zero, więc: \(3x-12=0\) lub \(10+5x=0\) lub \(x-3=0\). Stąd \(x=4\), \(x=-2\), \(x=3\). Suma rozwiązań: \(4+(-2)+3=5\).

Niech \(x\) oznacza liczbę kilogramów pomidorów malinowych, a \(y\) cherry. Mamy \(x+y=75\) oraz \(11x+7{,}98y=752{,}52\). Po podstawieniu \(y=75-x\): \(11x+7{,}98(75-x)=752{,}52\). Stąd \(3{,}02x=154{,}02\), więc \(x=51\).

Miejsce zerowe spełnia \(f(x)=0\). Dla drugiego wzoru \(x-1=0\), więc \(x=1\). Dla pierwszego wzoru zero byłoby przy \(x=-5\), ale \(-5\) nie należy do dziedziny tego fragmentu. Ponadto \(f(-2)=-2-1=-3\), a \(f(2)=2-1=1\), więc \(f(-2)+3f(2)=-3+3\cdot1=0\).

Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), osiągana dla \(x=-3\). Największa wartość to \(3\), osiągana dla \(x=4\). Zatem zbiór wartości to \([-4,3]\). Nierówność \(f(x)<-2\) jest spełniona dla argumentów od \(-4\) do \(-1\), bez końców, czyli \((-4,-1)\).

Miejscem zerowym jest \(-3\), więc wykres przechodzi przez punkt \((-3,0)\). Dla argumentu \(0\) wartość wynosi \(-\frac32\), więc wykres przechodzi przez punkt \((0,-\frac32)\). Współczynnik kierunkowy to \(a=\frac{-\frac32-0}{0-(-3)}=-\frac12\), a wyraz wolny to \(-\frac32\).

Jednym miejscem zerowym funkcji jest \(6\), a osią symetrii paraboli jest prosta \(x=1\).

Miejsca zerowe paraboli są symetryczne względem osi symetrii. Skoro jedno miejsce zerowe to \(6\), to drugie oznaczmy przez \(x_2\). Średnia miejsc zerowych musi być równa \(1\):

\[ \frac{6+x_2}{2}=1 \] \[ 6+x_2=2 \] \[ x_2=-4 \]
Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(\frac12\), więc wzór funkcji w postaci iloczynowej to:

\[ f(x)=\frac12(x-6)(x+4) \]
czyli odpowiedź C.

Z zadania 14.1 mamy:

\[ f(x)=\frac12(x+4)(x-6) \]
Mnożymy nawiasy:

\[ (x+4)(x-6)=x^2-2x-24 \] \[ f(x)=\frac12x^2-x-12 \]
Stąd:

\[ b=-1,\qquad c=-12 \]
Współczynnik \(b\) nie jest dodatni, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.
Współczynnik \(c\) także nie jest dodatni, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Odpowiedź: F, F.

Wykres funkcji \(f\) ma oś symetrii:

\[ x=1 \]
Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

\[ g(x)=f(x-3) \]
Zapis \(f(x-3)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(3\) jednostki w prawo.

Oś symetrii również przesuwa się o \(3\) jednostki w prawo:

\[ x=1+3=4 \]
Odpowiedź: D. \(x=4\).

Ciąg jest określony wzorem:

\[ a_n=\frac{32\cdot(-1)^n}{2^{\,n-1}} \]
Szukamy szóstego wyrazu, więc podstawiamy \(n=6\):

\[ a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}} \] \[ a_6=\frac{32\cdot1}{2^5} \] \[ a_6=\frac{32}{32}=1 \]
Odpowiedź: C. \(1\).

Ciąg jest arytmetyczny, jego różnica jest równa:

\[ r=-4 \]
Dane jest:

\[ a_{10}=-24 \]
Od wyrazu szóstego do dziesiątego są cztery kroki:

\[ a_{10}=a_6+4r \]
Podstawiamy dane:

\[ -24=a_6+4\cdot(-4) \] \[ -24=a_6-16 \] \[ a_6=-8 \]
Odpowiedź: B. \((-8)\).

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\).

Mamy: \[ a_6=a_3\cdot q^3 \] Z treści zadania: \[ a_3=-8a_6 \] Podstawiamy \(a_6=a_3q^3\): \[ a_3=-8a_3q^3 \] Ponieważ wszystkie wyrazy są różne od zera, możemy podzielić przez \(a_3\): \[ 1=-8q^3 \] \[ q^3=-\frac18 \] \[ q=-\frac12 \] Odpowiedź: B. \(-\frac12\).

Najpierw korzystamy z tego, że ciąg \((\sqrt5,1,x)\) jest arytmetyczny.

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe: \[ 1-\sqrt5=x-1 \] \[ x=2-\sqrt5 \] Ponieważ \(\sqrt5>2\), otrzymujemy: \[ x<0 \]
Teraz ciąg \((\sqrt5,1,y)\) jest geometryczny. Iloraz tego ciągu: \[ q=\frac{1}{\sqrt5} \] Zatem: \[ y=1\cdot \frac{1}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5} \] czyli: \[ y>0 \] Odpowiedź: B. \(x<0\) i \(y>0\).

Kąt \(\alpha\) jest ostry i: \[ \cos\alpha=\frac{5}{13} \] Możemy wykorzystać trójkąt prostokątny. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, więc: \[ \text{przyprostokątna przyległa}=5,\qquad \text{przeciwprostokątna}=13 \] Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną: \[ 13^2-5^2=169-25=144 \] \[ \sqrt{144}=12 \] Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej: \[ \tan\alpha=\frac{12}{5} \] Odpowiedź: D. \(\frac{12}{5}\).

Korzystamy ze wzoru: \[ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta) \] W zadaniu mamy: \[ \sin30^\circ\cdot\cos60^\circ+\sin60^\circ\cdot\cos30^\circ \] To jest: \[ \sin30^\circ\cos60^\circ+\cos30^\circ\sin60^\circ \] czyli: \[ \sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1 \] Odpowiedź: D. \(1\).

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu i leży na odcinku \(BD\), więc \(BD\) jest średnicą.

Ponieważ \(SA=SD\), trójkąt \(ASD\) jest równoramienny. Kąt \(BDA\) ma \(40^\circ\), a odcinki \(DB\) i \(DS\) leżą na jednej prostej, więc: \[ \angle SDA=40^\circ \] W trójkącie równoramiennym \(ASD\): \[ \angle SAD=40^\circ \] Zatem: \[ \angle ASD=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ \] Kąty \(\angle ASD\) i \(\angle BSA\) są dopełniające do \(180^\circ\), bo \(B,S,D\) leżą na jednej prostej: \[ \angle BSA=180^\circ-100^\circ=80^\circ \] Odpowiedź: D. \(80^\circ\).

Ponieważ \(BD\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty: \[ \angle BCD=90^\circ \] Z treści zadania: \[ \angle DBC=65^\circ \] W trójkącie \(BCD\): \[ \angle CDB=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ \] Kąt wpisany \(CDB\) jest oparty na łuku \(BC\). Miara tego łuku jest dwa razy większa: \[ 2\cdot25^\circ=50^\circ \] Długość łuku o mierze \(50^\circ\) w okręgu o promieniu \(36\): \[ l=\frac{50^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot36 \] \[ l=\frac{50}{360}\cdot72\pi=10\pi \] Odpowiedź: B. \(10\pi\).

Pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, obliczamy ze wzoru: \[ P=\frac12 ab\sin\gamma \] Tutaj: \[ a=6,\quad b=4,\quad \gamma=60^\circ \] Zatem: \[ P=\frac12\cdot6\cdot4\cdot\sin60^\circ \] \[ P=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3 \] Odpowiedź: B. \(6\sqrt3\).

Korzystamy z twierdzenia cosinusów: \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle CAB \] Podstawiamy dane: \[ BC^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\cos60^\circ \] \[ BC^2=36+16-48\cdot\frac12 \] \[ BC^2=52-24=28 \] \[ BC=\sqrt{28} \] Odpowiedź: A. \(\sqrt{28}\).

W trapezie \(ABCD\) podstawy są równoległe i: \[ |AB|=2|CD| \] Punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne w stosunku długości podstaw: \[ \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{CD}=2 \]
Dla trójkątów \(BCE\) i \(AED\) kąty przy punkcie \(E\) są wierzchołkowe, więc mają tę samą miarę. Stosunek pól: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=\frac{BE\cdot CE}{AE\cdot ED} \] Ponieważ \(\frac{BE}{ED}=2\) oraz \(\frac{CE}{AE}=\frac12\), otrzymujemy: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=2\cdot\frac12=1 \] Zatem pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Dla trójkątów \(ABE\) oraz \(CDE\): \[ \frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}=\frac{AE\cdot BE}{CE\cdot DE}=2\cdot2=4 \] Pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy większe — drugie zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

Dane są proste: \[ k:\ y=(3-m)x+5 \] \[ l:\ y=(m+3)x-4 \] Współczynniki kierunkowe to: \[ 3-m \quad \text{oraz} \quad m+3 \] Warunek równoległości: \[ 3-m=m+3 \] \[ -m=m \] \[ 2m=0 \] \[ m=0 \]

Okrąg ma równanie: \[ (x-1)^2+(y+3)^2=4 \] Stąd środek okręgu to: \[ S=(1,-3) \] a promień: \[ r=2 \]
Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(3\). Ponieważ \(3>2\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\). Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Odległość środka od osi \(Oy\) wynosi \(1\). Ponieważ \(1<2\), oś \(Oy\) przecina okrąg w dwóch punktach. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Odpowiedź: P, P.

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Wysokość tego trójkąta jest równa: \[ 2\sqrt3 \] Dla trójkąta równobocznego: \[ h=\frac{a\sqrt3}{2} \] Zatem: \[ \frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3 \] \[ a=4 \]
Pole podstawy: \[ P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3 \]
Ściana boczna \(ABED\) jest prostokątem. Przekątna \(AE\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt \(60^\circ\), więc: \[ \tan60^\circ=\frac{H}{AB} \] \[ \sqrt3=\frac{H}{4} \] \[ H=4\sqrt3 \]
Objętość: \[ V=P_p\cdot H=4\sqrt3\cdot4\sqrt3=48 \]
Pole powierzchni bocznej: \[ P_b=obwód\ podstawy\cdot H=3\cdot4\cdot4\sqrt3=48\sqrt3 \] Pole dwóch podstaw: \[ 2P_p=8\sqrt3 \] Pole powierzchni całkowitej: \[ P_c=48\sqrt3+8\sqrt3=56\sqrt3 \]

Objętość walca obliczamy ze wzoru: \[ V=\pi r^2H \] Dane: \[ r=2,\qquad V=16\pi^2 \] Podstawiamy: \[ 16\pi^2=\pi\cdot2^2\cdot H \] \[ 16\pi^2=4\pi H \] Dzielimy obie strony przez \(4\pi\): \[ H=\frac{16\pi^2}{4\pi}=4\pi \] Odpowiedź: B. \(4\pi\).

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których występują tylko cyfry nieparzyste.

Możliwe cyfry nieparzyste to: \[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \]
Cyfra setek musi być nieparzysta i liczba ma być większa od \(500\), więc cyfra setek może być: \[ 5,\ 7,\ 9 \] czyli są \(3\) możliwości.
Cyfra dziesiątek: \(5\) możliwości.
Cyfra jedności: \(5\) możliwości.

Liczba takich liczb: \[ 3\cdot5\cdot5=75 \] Odpowiedź: C. \(75\).

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką, więc wszystkich możliwych wyników jest: \[ 6\cdot6=36 \]
Pierwszy wynik jest cyfrą dziesiątek, a drugi cyfrą jedności.

Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności musi być nieparzysta: \[ 1,\ 3,\ 5 \] Dodatkowo liczba ma być podzielna przez \(3\), czyli suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\).

Sprawdzamy możliwości:
dla cyfry jedności \(1\): cyfra dziesiątek \(2\) lub \(5\), czyli \(21,51\);
dla cyfry jedności \(3\): cyfra dziesiątek \(3\) lub \(6\), czyli \(33,63\);
dla cyfry jedności \(5\): cyfra dziesiątek \(1\) lub \(4\), czyli \(15,45\).

Mamy \(6\) wyników sprzyjających: \[ 21,\ 51,\ 33,\ 63,\ 15,\ 45 \] Zatem: \[ P(A)=\frac{6}{36}=\frac16 \]

Z diagramu odczytujemy: \[ 1\ \text{usterka}:16\ \text{samochodów} \] \[ 2\ \text{usterki}:10\ \text{samochodów} \] \[ 3\ \text{usterki}:6\ \text{samochodów} \] \[ 4\ \text{usterki}:2\ \text{samochody} \] \[ 5\ \text{usterek}:2\ \text{samochody} \]
Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najczęściej występuje \(1\) usterka, więc dominanta wynosi: \[ 1 \]
Liczba wszystkich samochodów: \[ 16+10+6+2+2=36 \] Suma wszystkich usterek: \[ 1\cdot16+2\cdot10+3\cdot6+4\cdot2+5\cdot2=72 \] Średnia: \[ \frac{72}{36}=2 \]
Co najmniej dwie usterki miało: \[ 10+6+2+2=20 \] samochodów. Dokładnie jedną usterkę miało \(16\) samochodów.
Procent: \[ \frac{20}{16}\cdot100\%=125\% \]

Dana jest funkcja: \[ P(x)=(80-x)(120+5x) \] Mnożymy nawiasy: \[ P(x)=9600+400x-120x-5x^2 \] \[ P(x)=-5x^2+280x+9600 \] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku.

Obliczamy argument wierzchołka: \[ x_w=\frac{-b}{2a} \] \[ a=-5,\qquad b=280 \] \[ x_w=\frac{-280}{2\cdot(-5)}=\frac{-280}{-10}=28 \]
Oznacza to, że cenę należy podnieść o: \[ 5x=5\cdot28=140 \] zł.
Cena wynajęcia pokoju: \[ 120+140=260 \]
Odpowiedź: 260 zł.