Matura podstawowa czerwiec 2026

Obliczamy wartości pierwiastków:

Podstawiamy do wyrażenia:

Sprowadzamy wszystko do potęg liczby \(3\).

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie:

Zamieniamy wynik na potęgę liczby \(9\):

Obliczamy wartość logarytmu:

Najpierw zapisujemy pierwiastek trzeciego stopnia jako potęgę o wykładniku \(\frac{1}{3}\):

Liczbę \(25\) zapisujemy jako potęgę liczby \(5\):

Podstawiamy:

Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):

Zatem cały logarytm ma postać:

Logarytm \(\log_5 5^{\frac23}\) oznacza wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść \(5\), aby otrzymać \(5^{\frac23}\).

Wyłączamy \(x\) przed nawias:

W nawiasie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Zatem:

Wyłączamy wspólny czynnik \(7^n\):

Obliczamy nawias:

Całe wyrażenie ma więc czynnik \(19\).

Dane są wielomiany:

Najpierw obliczamy iloczyn:

Teraz odejmujemy:

Rozwiązujemy nierówność:

Dzielimy przez liczbę ujemną \(-2\), więc zmieniamy znak nierówności:

Miejsca zerowe to:

Możemy spojrzeć na wykres paraboli o miejscach zerowych \(-3\) i \(2\).

Parabola jest nad osią \(OX\) między miejscami zerowymi, więc:

Rozwiązujemy równanie:

Mnożymy na krzyż:

Liczymy deltę:

Obliczamy rozwiązania:

Szukamy rozwiązania z przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\). Należy do niego tylko:

Łącznie wszystkich drzew jest \(198\), więc:

Gdyby drzew iglastych było o \(18\) więcej, to byłoby ich \(x+18\).

Wtedy drzew liściastych byłoby \(3\) razy więcej niż drzew iglastych:

Zatem układ równań to:

Dana jest funkcja:

Współczynnik kierunkowy wynosi \(3\). Ponieważ \(3>0\), funkcja jest rosnąca.

Punkt przecięcia z osią \(OY\) otrzymujemy dla \(x=0\):

Wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,-4)\), a nie w punkcie \((0,4)\).

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji, więc:

Podstawiamy \(x=2\) do wzoru funkcji:

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe funkcji, czyli punkty przecięcia wykresu z osią \(OX\).

Funkcja ma więc dokładnie \(3\) miejsca zerowe.

Największa wartość funkcji jest równa \(3\) i jest osiągana dla argumentu:

Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych we wzorze funkcji:

Funkcja przyjmuje wartości nieujemne tam, gdzie jej wykres leży na osi \(OX\) albo nad osią \(OX\).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Oś symetrii paraboli ma równanie:

Punkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem osi symetrii.

Liczba \(-9\) leży \(6\) jednostek na lewo od osi \(x=-3\):

Drugi argument leży \(6\) jednostek na prawo od osi:

Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

Zapis \(f(x-5)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(5\) jednostek w prawo.

Wierzchołek funkcji \(f\) ma współrzędne:

Po przesunięciu o \(5\) jednostek w prawo otrzymujemy:

Liczymy kolejne wyrazy ciągu:

Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym:

Każdy kolejny wyraz powstaje przez odjęcie tej samej liczby \(6\).

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.

Ponieważ:

każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest malejący.

Ciąg \((7,a_2,a_3,a_4)\) jest arytmetyczny, więc oznaczmy jego różnicę przez \(r\).

Suma wszystkich wyrazów jest równa \(54\):

Drugi wyraz ciągu:

W pięciowyrazowym ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest równy \(2\):

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów symetrycznie położonych względem środka jest równy kwadratowi środkowego wyrazu:

Zatem:

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym:

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątna ma długość \(8\), więc:

Druga przyprostokątna jest dłuższa, więc krótsza przyprostokątna ma długość \(2\).

Odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu, więc łuk od \(B\) do \(D\) ma miarę \(180^\circ\).

Kąt wpisany \(\angle ABD\) ma miarę \(18^\circ\), więc oparty na nim łuk \(AD\) ma miarę dwa razy większą:

Punkt \(D\) jest środkiem krótszego łuku \(CA\), więc:

Na półokręgu od \(B\) do \(D\) mamy:

Kąt \(\angle BCA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\), dlatego:

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, więc trójkąty \(ABC\) oraz \(ADE\) są podobne.

Na dolnym ramieniu kąta:

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi:

Odcinkowi \(BC\) odpowiada odcinek \(DE\), więc:

Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), więc punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Odcinek \(CD\) jest wysokością, zatem trójkąt \(ADC\) jest prostokątny.

W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest równo odległy od wszystkich wierzchołków. Ponieważ \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), mamy:

Z treści zadania:

Oznaczmy:

Ponieważ \(D\) leży na odcinku \(AB\), to:

W trójkącie \(DBE\) mamy \(DB=DE\), więc kąty przy podstawie są równe:

Stąd:

Kąty \(\angle BDE\) i \(\angle ADE\) są przyległe, więc:

W trójkącie \(ADE\) mamy \(EA=ED\), więc:

A ponieważ \(\angle DAE=\angle CAB\), otrzymujemy:

Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

Podstawiamy \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\):

Ponieważ kąt jest rozwarty:

Bok \(AB\) leży na prostej:

Bok \(AD\) leży na prostej:

Punkt \(A\) jest punktem przecięcia tych prostych:

Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:

Przekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach, więc punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\).

Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:

Punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu.

Obliczamy długość boku:

Obwód kwadratu:

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, więc środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\).

Promień to odległość środka od punktu \(A\):

Równanie okręgu:

Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, a każda jego krawędź ma długość \(12\).

Podstawą jest kwadrat o boku \(12\). Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu to połowa przekątnej kwadratu:

Tworzymy trójkąt prostokątny, w którym:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Dany jest stożek o promieniu podstawy \(r=3\) i tworzącej \(l=6\).

Pole powierzchni bocznej:

Pole podstawy:

Zatem \(18\pi=2\cdot9\pi\), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.

\(\alpha=30^\circ\) jest kątem między wysokością a tworzącą, więc kąt rozwarcia stożka ma miarę \(2\alpha=60^\circ\).

W przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny \(ABD\), w którym:

Wysokość walca to odcinek \(AD\). Leży on naprzeciw kąta \(30^\circ\), więc:

Odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca:

Promień podstawy:

Objętość walca:

Pole powierzchni całkowitej:

Szukamy liczb czterocyfrowych parzystych, w których cyfra tysięcy i cyfra jedności są równe.

Liczba jest parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Ponieważ cyfra tysięcy jest taka sama, nie może być zerem.

Mamy więc \(4\) możliwości na te dwie cyfry.

Cyfra setek ma \(10\) możliwości, a cyfra dziesiątek ma \(10\) możliwości.

Niech w drugiej szkole będzie \(x\) uczniów. W pierwszej szkole jest trzy razy więcej uczniów, czyli \(3x\).

Średnia wieku wszystkich uczniów obu szkół:

Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów dla poszczególnych ocen:

Liczba wszystkich uczniów:

Przy \(26\) wynikach mediana jest średnią z \(13\). i \(14\). wyniku po uporządkowaniu.

Sprawdzamy miejsca ocen:

Trzynasty i czternasty wynik to oceny \(4\), więc mediana wynosi \(4\).

Losujemy dwie liczby bez zwracania ze zbioru:

Liczba wszystkich możliwych wyników losowania, z uwzględnieniem kolejności:

Pierwsza liczba ma być parzysta, więc może być równa \(2\), \(4\) albo \(6\).

Sprawdzamy przypadki, w których iloczyn obu liczb jest większy od \(16\):

Liczba wyników sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(4\), więc jego pole wynosi:

Trójkąt \(DEF\) otrzymujemy z kwadratu po odjęciu trzech trójkątów prostokątnych położonych przy bokach kwadratu.

Z treści zadania:

Dlatego:

Obliczamy pola trzech trójkątów, które odejmujemy od pola kwadratu.

1. Trójkąt \(ADE\)

2. Trójkąt \(EBF\)

3. Trójkąt \(DCF\)

Pole trójkąta \(DEF\) jest równe polu kwadratu pomniejszonemu o pola tych trzech trójkątów:

Upraszczamy:

Zatem:

Jest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane do góry, więc najmniejsze pole otrzymamy dla argumentu będącego współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli.

Dla funkcji:

mamy:

Obliczamy:

Ponieważ \(1\in(0,2)\), to dla \(x=1\) pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze.