Matura podstawowa maj 2026

Obliczamy wartość wyrażenia:

Korzystamy z własności pierwiastków:

Obliczamy potęgę o wykładniku ujemnym:

Dodajemy:

Po pierwszym roku kapitał zwiększa się o \(6\%\), czyli mnożymy przez \(1{,}06\).

Po drugim roku bank znowu dolicza \(6\%\):

Łączna kwota odsetek:

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę:

Dodajemy wykładniki przy tej samej podstawie:

Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:

Zapisujemy liczby jako potęgi liczby \(2\):

Obliczamy logarytmy:

Odejmujemy:

Dana liczba ma postać:

Zamieniamy \(4\) na potęgę liczby \(2\):

Zatem:

Liczba \(10^{24}\) jest podzielna przez \(20\).

Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera, więc ma \(25\) cyfr.

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Podstawiamy \(x=\sqrt{2}-5\):

Przekształcamy wyrażenie:

Wystarczy wykazać, że liczba \(n(n+3)\) jest parzysta.

Zatem \(n(n+3)\) jest parzyste, czyli można je zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

Z równania:

odczytujemy rozwiązania:

Suma wszystkich rozwiązań jest równa \(0\):

Rozwiązujemy równanie:

Mnożymy na krzyż:

Mianownik nie jest zerem:

Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.

Oznaczmy:

Sprzedano łącznie \(200\) biletów, więc:

Po opłaceniu kosztów organizatorom zostało \(75\%\) wpływów ze sprzedaży biletów.

Wpływy ze sprzedaży biletów wyniosły więc \(6220\) zł.

Podstawiamy \(x=200-y\):

Funkcja jest określona wzorem:

Rozwiązujemy równanie \(f(x)=3\).

Dla pierwszego przedziału:

Dla drugiego przedziału:

Ale liczba \(2\) nie należy do przedziału \((2,5)\), więc nie jest tutaj rozwiązaniem.

Największą wartość funkcji w przedziale \([2,3]\) odczytujemy z wykresu. Dla \(x=2\) mamy:

Najmniejsza wartość funkcji to \(-2\), a największa wartość funkcji to \(4\).

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od \(1\).

Dla pierwszego wzoru:

W pierwszym przedziale daje to:

Dla drugiego wzoru:

W drugim przedziale daje to:

Łącznie:

Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca.

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny.

Punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\) leży poniżej osi \(OX\).

Oznacza to, że współczynnik \(b\) jest ujemny.

Z wykresu odczytujemy dwa punkty należące do prostej, na przykład:

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(OX\):

Zatem:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Zapisujemy wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:

Dana jest funkcja:

Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\), więc:

Podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji \(f\):

Zatem:

Przekształcamy do postaci ogólnej:

Ciąg jest określony wzorem:

Obliczamy pierwszy i dziewiąty wyraz:

Ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny, więc kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

Teraz korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu:

Ciąg jest arytmetyczny, więc ma stałą różnicę \(r\).

Piąty wyraz ciągu możemy zapisać jako:

Obliczamy dziewiąty wyraz:

W ciągu geometrycznym wyraz ogólny ma postać:

Iloczyn wyrazów trzeciego i szóstego:

Iloczyn wyrazów drugiego i siódmego:

Te iloczyny są więc równe:

Z treści zadania:

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest bok \(AC\).

Obliczamy długość boku \(AB\) z twierdzenia Pitagorasa:

Kąt \(\gamma\) jest przy wierzchołku \(C\), więc bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest \(AB\).

Kąt wpisany \(\angle CDA\) ma miarę \(50^\circ\), więc oparty na nim łuk \(CA\) ma miarę dwa razy większą.

Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\), a kąt środkowy \(\angle COB\) ma miarę \(30^\circ\). Zatem:

Cały krótszy łuk \(CA\) ma \(100^\circ\), więc łuk \(BA\) ma miarę:

Kąt \(\angle BOA\) jest kątem środkowym opartym na łuku \(BA\), dlatego:

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, więc trójkąty \(AOD\) oraz \(COB\) są podobne.

Odpowiadające sobie odcinki leżą na tych samych prostych przecinających proste równoległe.

Podstawiamy dane z rysunku:

Obliczamy \(OD\):

Dwusieczna kąta \(LMK\) dzieli ten kąt na dwa kąty równej miary.

Trójkąty \(KNM\) oraz \(NLM\) mają wspólny bok \(MN\).

Ich pola możemy zapisać ze wzoru na pole trójkąta z użyciem dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

Ponieważ \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\), to:

Zatem sinusy tych kątów są równe. Korzystamy z danych:

Obliczamy stosunek pól:

W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest równy:

Stąd:

Promień okręgu ma długość \(9\sqrt{3}\), więc:

Dane jest równanie:

Rozdzielamy ułamek:

Korzystamy z zależności:

Otrzymujemy:

Dane są punkty:

Odcinek \(AC\) leży na osi \(OY\), więc jego długość wynosi:

Odległość punktu \(B\) od prostej \(AC\), czyli od osi \(OY\), wynosi \(2\).

Liczymy pole trójkąta:

Dane są punkty:

Najpierw sprawdzimy, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Obliczamy kwadraty długości boków.

Długość odcinka \(AB\):

Długość odcinka \(BC\):

Długość odcinka \(AC\):

Sprawdzamy zależność z twierdzenia Pitagorasa:

Zatem:

Na mocy odwrotnego twierdzenia do twierdzenia Pitagorasa trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest odcinek \(AC\).

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.

Obliczamy środek odcinka \(AC\):

Środek okręgu to:

Sprawdzamy odległość punktu \(A=(4,-7)\) od środka okręgu:

Promień okręgu wynosi \(5\), więc punkt \(A\) leży na okręgu.

Równanie okręgu o środku \((1,-3)\) i promieniu \(5\) ma postać:

W podanym zdaniu po prawej stronie jest \(5\), a powinno być \(25\).

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej:

Zatem ma taki sam współczynnik kierunkowy:

Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \((2,-2)\). Podstawiamy:

Punkt przecięcia z osią \(OY\) ma współrzędne:

Przekątna podstawy kwadratu ma długość:

Pole kwadratu możemy obliczyć ze wzoru:

Odległość środka podstawy od wierzchołka podstawy to połowa przekątnej:

Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\), więc w trójkącie prostokątnym:

Objętość ostrosłupa:

Oznaczmy promień walca przez \(r\), a wspólną wysokość przez \(h\).

Promień podstawy stożka jest dwa razy większy, więc wynosi \(2r\).

Objętość stożka:

Objętość walca:

Stosunek objętości:

Tworzymy liczby trzycyfrowe nieparzyste z cyfr:

Cyfra setek nie może być zerem, więc mamy \(6\) możliwości:

Cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych \(7\) cyfr.

Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc mamy \(3\) możliwości:

Liczba takich liczb wynosi:

Ze zbioru \(X\) losujemy jedną z \(5\) cyfr, a ze zbioru \(Y\) jedną z \(5\) cyfr.

Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).

Cyfra jedności pochodzi ze zbioru \(Y=\{0,2,4,6,8\}\), więc liczba zawsze jest parzysta.

Sprawdzamy podzielność przez \(3\), czyli sumę cyfr.

Liczba wyników sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Z diagramu dla klasy IV A odczytujemy liczby uczniów:

Średnia w klasie IV A:

Z diagramu dla klasy IV B odczytujemy:

Średnia w klasie IV B:

W obu klasach jest po \(20\) uczniów, więc mediana jest średnią z 10. i 11. wyniku.

W klasie IV A 10. wynik to \(3\), a 11. wynik to \(4\).

W klasie IV B 10. wynik to \(3\), a 11. wynik to \(4\).

Średnia trzech liczb \(a,b,c\) jest równa \(2\), więc suma tych liczb wynosi:

Średnia czterech liczb \(d,e,f,g\) jest równa \(5{,}5\), więc:

Suma wszystkich siedmiu liczb:

Średnia siedmiu liczb:

Piłeczka uderzy w ziemię, gdy jej wysokość będzie równa \(0\).

Wyłączamy \(t\) przed nawias:

Stąd:

Czas \(t=0\) oznacza moment wyrzucenia piłeczki, więc pierwsze uderzenie o ziemię nastąpi po \(3\) sekundach.

Wysokość piłeczki opisuje funkcja kwadratowa:

Największa wysokość jest osiągana w wierzchołku paraboli.

Dla funkcji \(at^2+bt+c\) współrzędna \(t\) wierzchołka jest równa:

W naszym przypadku: