Matura podstawowa marzec 2026

Z treści zadania wiemy, że przy dzieleniu liczby \(x\) przez liczbę \(y\) otrzymano iloraz \(20\) i resztę \(26\).

Zapisujemy to w postaci:

Dzielimy obie strony przez \(y\):

Obliczamy wartość wyrażenia:

Łączymy pierwiastki trzeciego stopnia:

Upraszczamy liczbę pod pierwiastkiem:

Zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi liczby \(3\):

Podstawiamy do wyrażenia:

Upraszczamy potęgi:

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę:

Podstawę logarytmu zapisujemy jako potęgę liczby \(2\):

Obliczamy logarytm:

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwukrotnie:

Rozkładamy pierwszy nawias:

Zatem:

Liczba \(2501^2+2499^2\) jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest iloczynem liczby \(10000\) i liczby całkowitej.

Upraszczamy wyrażenie:

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Podstawiamy i skracamy:

Równanie ma postać:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Dla trzeciego czynnika:

Ponieważ \(\Delta<0\), to ten czynnik nie daje rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązujemy nierówność:

Rozwijamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(x^2+2x-24>0\) jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.

Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:

Rozwiązujemy układ równań:

Dzielimy pierwsze równanie przez \(20\), a drugie przez \(26\):

Z pierwszego równania od razu mamy:

Obliczamy wartości \(x_0\) i \(y_0\):

Obie liczby są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

Funkcja liniowa jest określona wzorem:

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:

Nie dla każdego \(k\in(-\infty,2)\) funkcja jest malejąca, bo na przykład dla \(k=0\) mamy \(k+2=2>0\).

Sprawdzamy drugie zdanie dla \(k=4\):

Dla \(x=0\):

Zatem wykres przechodzi przez punkt \((0,1)\).

Analizujemy wykres i wzór funkcji.

Na przedziale \([-4,-2)\) funkcja jest opisana wzorem:

Ta część wykresu rośnie, ale punkt \(x=-2\) należy już do drugiego wzoru. Mamy:

Na końcu przedziału następuje więc „skok” w dół, dlatego funkcja nie jest rosnąca w całym przedziale \([-4,-2]\).

Na przedziale \([1,3]\) funkcja zaczyna się od wartości:

Dla \(x\in(1,3]\) mamy:

Ta funkcja jest malejąca, a wartości spadają od \(4\) do \(-1\).

Największą wartość funkcji odczytujemy z wykresu.

Wartość \(4\) funkcja przyjmuje dla \(x=1\).

Teraz analizujemy równanie:

Liczba \(\sqrt{5}\) leży między \(2\) i \(3\), ponieważ:

Pozioma prosta \(y=\sqrt{5}\) przecina wykres funkcji w trzech miejscach: na pierwszym, drugim i trzecim odcinku wykresu.

Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych w definicji funkcji:

Zatem:

Rozwiązujemy nierówność:

Na pierwszych dwóch częściach wykresu funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od \(1\).

Dla trzeciego wzoru:

Uwzględniamy przedział, w którym obowiązuje ten wzór:

Ostatecznie:

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem:

Obliczamy współrzędną \(x\) wierzchołka:

Obliczamy współrzędną \(y\) wierzchołka:

Wysokość trójkąta \(ABC\) jest więc równa \(36\).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji:

Długość podstawy \(AB\):

Pole trójkąta:

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, więc iloczyn \(x\cdot y\) jest stały.

Obliczamy:

Najpierw obliczamy wyraz \(a_5\):

Ciąg:

ma więc postać:

Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy podwojony środkowy wyraz jest równy sumie wyrazów skrajnych:

Rozwiązujemy równanie:

Z definicji ciągu:

wynika, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy:

Obliczamy setny wyraz:

Suma stu początkowych wyrazów:

Dla ciągu geometrycznego zachodzi:

Z treści zadania:

Podstawiamy \(a_8=a_6q^2\):

Dzielimy przez \(a_6\):

Ciąg jest malejący, więc iloraz nie może być ujemny, bo wtedy wyrazy zmieniałyby znaki. Wybieramy:

Kąt \(\alpha\) jest rozwarty, więc:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

Ponieważ kąt jest rozwarty, wybieramy wartość ujemną:

Obliczamy tangens:

Obliczamy wartość wyrażenia:

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przeciwprostokątną jest bok \(BC\), więc przy kącie \(BCA\) przyprostokątnymi są \(AC\) i \(AB\).

Z definicji tangensa:

Podstawiamy dane:

Obliczamy \(AB\):

Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt równoodległy od wszystkich boków trójkąta.

Taki punkt leży w przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta.

Kąt \(COB\) jest kątem środkowym i ma miarę \(90^\circ\), więc łuk \(CB\) ma miarę:

Kąt \(AKD\) jest kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy. Jego miara jest równa połowie sumy miar odpowiednich łuków:

Podstawiamy:

Ponieważ \(BD\) jest średnicą, łuk \(BAD\) ma miarę \(180^\circ\). Zatem:

Kąt \(BDA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\), więc:

Oznaczmy:

Z treści zadania:

Trapez jest równoramienny, więc krótsza podstawa \(CD\) jest położona symetrycznie względem dłuższej podstawy \(AB\). Oznacza to, że poziome przesunięcie ramienia \(AD\) względem punktu \(A\) jest równe:

Niech \(h\) oznacza wysokość trapezu. Wtedy wektor ramienia \(AD\) ma składowe:

Przekątna \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Kierunek dwusiecznej kąta utworzonego przez odcinki \(AB\) i \(AD\) prowadzi do wniosku, że długość ramienia \(AD\) jest równa długości krótszej podstawy \(CD\), czyli:

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość trapezu mamy więc:

Obliczamy tangens kąta \(DAB\):

Skoro \(\operatorname{tg}\angle DAB=\sqrt{3}\), to:

Zacieniowana figura to część koła znajdująca się poza sześciokątem foremnym.

Promień koła jest równy \(1\), więc pole koła wynosi:

Sześciokąt foremny wpisany w koło o promieniu \(1\) składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(1\).

Pole zacieniowanej figury:

Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Przekształcamy równanie prostej \(k\):

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:

Przekształcamy równanie prostej \(l\):

Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy:

Porównujemy współczynniki:

Dane są końce przekątnej kwadratu:

Środek okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\) jest środkiem przekątnej \(AC\):

Promień okręgu jest równy połowie długości przekątnej \(AC\).

Po odbiciu kwadratu względem osi \(OY\) środek okręgu \(S=(1,3)\) przechodzi na punkt:

Promień nie zmienia się, więc:

Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:

Równanie okręgu:

Niech \(a\) oznacza długość krawędzi sześcianu.

Odcinki \(AC\), \(CH\) oraz \(AH\) są przekątnymi odpowiednich ścian sześcianu, więc każdy z nich ma długość:

Trójkąt \(ACH\) jest więc równoboczny o boku \(a\sqrt{2}\).

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\sqrt{2}\) wynosi:

Z treści zadania:

Dzielimy przez \(\sqrt{3}\):

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku \(12\), więc pole podstawy wynosi:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym środek podstawy leży w środku kwadratu.

Odległość środka podstawy od środka boku podstawy wynosi:

Kąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę \(30^\circ\). W odpowiednim przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:

Obliczamy wysokość ostrosłupa:

Objętość ostrosłupa:

Walec \(C_2\) jest podobny do walca \(C_1\) w skali:

Pola powierzchni figur podobnych zmieniają się w skali \(k^2\):

Zatem pole powierzchni całkowitej walca \(C_2\):

Objętości brył podobnych zmieniają się w skali \(k^3\):

Zatem objętość walca \(C_2\):

Kolorujemy kolejne obszary drwala.

Pierwszy obszar możemy pokolorować na \(7\) sposobów.

Każdy kolejny obszar graniczy z poprzednim już pokolorowanym obszarem, więc dla każdego z nich mamy \(6\) możliwości wyboru koloru.

Liczba wszystkich sposobów pokolorowania:

Liczb naturalnych dwucyfrowych jest:

Dwucyfrowe wielokrotności liczby \(34\) to:

Są więc \(2\) wyniki sprzyjające.

Prawdopodobieństwo:

Wagi ocen są następujące:

Karolina otrzymała:

Obliczamy sumę ważoną:

Obliczamy sumę wag:

Średnia ważona:

Rozegrano \(50\) meczów.

Z diagramu odczytujemy:

Porządkujemy wyniki rosnąco.

Pierwsze \(4\) wyniki to zera, a kolejne \(21\) wyników to jedynki. Zatem wyniki od 5. do 25. są równe \(1\).

Kolejne wyniki są równe \(2\), więc 26. wynik jest równy \(2\).

Dla \(50\) wyników mediana jest średnią z 25. i 26. wyniku:

Funkcja ma postać kanoniczną:

Współczynnik przy \((x-\pi)^2\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół.

Wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku paraboli.

Ponieważ \(\pi\in[0,6]\), to w podanym przedziale funkcja przyjmuje wartość największą dla argumentu \(\pi\).

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc w przedziale domkniętym wartość najmniejsza będzie na jednym z końców przedziału.

Porównujemy odległości końców przedziału od wierzchołka \(x=\pi\):

Ponieważ:

punkt \(0\) jest dalej od wierzchołka niż punkt \(6\). Dla paraboli skierowanej ramionami w dół dalej od wierzchołka oznacza mniejszą wartość funkcji.