Matura podstawowa sierpień 2026

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.

Każdą nieparzystą liczbę całkowitą można zapisać w postaci \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\).

Liczba \(k^2+2k+2\) jest całkowita. Otrzymane wyrażenie jest więc wielokrotnością liczby \(12\), co kończy dowód.

Mnożymy obie strony nierówności przez \(15\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności nie zmienia się.

Ponieważ \(-\frac{17}{6}\approx-2{,}83\), najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(-2\).

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

Sumujemy wszystkie rozwiązania równania:

Obliczamy wyróżnik i miejsca zerowe trójmianu:

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Trójmian jest ujemny pomiędzy miejscami zerowymi.

Z treści zadania układamy układ równań:

Pierwsze równanie mnożymy przez \(-3\), a drugie przez \(8\):

Dodajemy równania stronami.

Otrzymaną cenę batona podstawiamy do pierwszego równania:

Z wykresu odczytujemy najmniejszą wartość \(-3\) i największą wartość \(1\), stąd zbiór wartości to \([-3,1]\).

Wykres leży poniżej osi \(Ox\) dla \(x\in(-2,4)\). Największą wartość \(1\) funkcja przyjmuje dla \(x\in(-5,-3]\).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((2,4)\), a ramiona są skierowane w górę. Funkcja nie ma miejsc zerowych, natomiast jej oś symetrii ma równanie \(x=2\).

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru:

Najpierw zapisujemy wyraz następny:

Zatem

Otrzymany iloraz nie zależy od \(n\), więc jest stały. Obliczamy jeszcze pierwszy wyraz ciągu:

Mamy \(a_1>0\) oraz \(0

Korzystamy ze wzorów \(a_7=a_1+6r\), \(a_8=a_1+7r\) oraz ze wzoru na sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Otrzymujemy układ równań:

Pierwsze równanie mnożymy przez \(-3\), a drugie przez \(2\):

Dodajemy równania stronami:

Podstawiamy do pierwszego równania:

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych:

Rozwijamy i rozwiązujemy równanie:

Wszystkie wyrazy mają być dodatnie, dlatego odrzucamy \(x=-4\). Dla \(x=4\) ciąg ma postać \((4,8,16)\).

Przenosimy \(\cos^2\alpha\) na lewą stronę i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i możemy podzielić obie strony przez \(\cos\alpha\).

Kąty \(\angle DBC=\beta\) oraz \(\angle DAC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(DC\), dlatego mają równe miary:

Ponieważ \(AC\) jest średnicą okręgu, kąt \(\angle ADC\) jest prosty. W trójkącie \(ADC\):

Po zastąpieniu \(\angle DAC\) przez \(\beta\) otrzymujemy:

Niech \(x\) oznacza długość rzutu prostokątnego przekątnej \(BD\) na dłuższą podstawę \(AB\), czyli przyprostokątną przyległą do kąta \(\alpha\).

Niech \(h\) oznacza wysokość trapezu. Z twierdzenia Pitagorasa:

W trapezie równoramiennym różnica długości podstaw rozkłada się symetrycznie po obu stronach. Skoro \(|AB|-|CD|=40\), to rzut poziomy ramienia \(AD\) ma długość \(40:2=20\).

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątne mają tę samą długość \(a\), kąty ostre mają po \(45^\circ\), a przeciwprostokątna ma długość \(a\sqrt2\).

Prosta przechodzi przez punkt \(A=(0,-6)\), więc jej równanie to \(y=2x-6\).

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \(S=(-8,-6)\).

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

W trójkącie prostokątnym krawędź boczna długości 12 jest przeciwprostokątną, a wysokość \(h\) leży naprzeciw kąta \(60^\circ\). Zatem

Stąd

Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków.

W dwóch rzutach kostką mamy \(6\cdot6=36\) jednakowo prawdopodobnych wyników. Sumę większą od 10 dają wyniki \((5,6),(6,5),(6,6)\).

W szeregu 120 wyników mediana jest średnią 60. i 61. wartości. Wartość 60. wynosi 7, a 61. wynosi 8.

Najczęściej występuje 8 godzin (38 osób), więc dominanta wynosi 8.

Z warunku wynika \(2r+h=10\), czyli \(h=10-2r\).

Promień i wysokość walca muszą być dodatnie. Mamy więc

Wyznaczamy ograniczenie dla promienia:

Łącząc warunki \(r>0\) i \(r<5\), otrzymujemy dziedzinę:

Funkcja jest parabolą skierowaną ramionami w dół.