Dowody geometryczne

Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), więc punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Odcinek \(CD\) jest wysokością, zatem trójkąt \(ADC\) jest prostokątny.

W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest równo odległy od wszystkich wierzchołków. Ponieważ \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), mamy:

Z treści zadania:

Oznaczmy:

Ponieważ \(D\) leży na odcinku \(AB\), to:

W trójkącie \(DBE\) mamy \(DB=DE\), więc kąty przy podstawie są równe:

Stąd:

Kąty \(\angle BDE\) i \(\angle ADE\) są przyległe, więc:

W trójkącie \(ADE\) mamy \(EA=ED\), więc:

A ponieważ \(\angle DAE=\angle CAB\), otrzymujemy:

Dwusieczna kąta \(LMK\) dzieli ten kąt na dwa kąty równej miary.

Trójkąty \(KNM\) oraz \(NLM\) mają wspólny bok \(MN\).

Ich pola możemy zapisać ze wzoru na pole trójkąta z użyciem dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

Ponieważ \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\), to:

Zatem sinusy tych kątów są równe. Korzystamy z danych:

Obliczamy stosunek pól:

Oznaczmy:

Z treści zadania:

Trapez jest równoramienny, więc krótsza podstawa \(CD\) jest położona symetrycznie względem dłuższej podstawy \(AB\). Oznacza to, że poziome przesunięcie ramienia \(AD\) względem punktu \(A\) jest równe:

Niech \(h\) oznacza wysokość trapezu. Wtedy wektor ramienia \(AD\) ma składowe:

Przekątna \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Kierunek dwusiecznej kąta utworzonego przez odcinki \(AB\) i \(AD\) prowadzi do wniosku, że długość ramienia \(AD\) jest równa długości krótszej podstawy \(CD\), czyli:

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość trapezu mamy więc:

Obliczamy tangens kąta \(DAB\):

Skoro \(\operatorname{tg}\angle DAB=\sqrt{3}\), to:

W trapezie \(ABCD\) podstawy są równoległe i: \[ |AB|=2|CD| \] Punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne w stosunku długości podstaw: \[ \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{CD}=2 \]
Dla trójkątów \(BCE\) i \(AED\) kąty przy punkcie \(E\) są wierzchołkowe, więc mają tę samą miarę. Stosunek pól: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=\frac{BE\cdot CE}{AE\cdot ED} \] Ponieważ \(\frac{BE}{ED}=2\) oraz \(\frac{CE}{AE}=\frac12\), otrzymujemy: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=2\cdot\frac12=1 \] Zatem pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Dla trójkątów \(ABE\) oraz \(CDE\): \[ \frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}=\frac{AE\cdot BE}{CE\cdot DE}=2\cdot2=4 \] Pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy większe — drugie zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne: mają równe kąty wierzchołkowe przy \(E\), a pozostałe kąty są równe, ponieważ \(AB\parallel CD\). Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\) i równe wysokości, więc mają równe pola. Oba zdania są prawdziwe.