Bryły obrotowe – zadania maturalne CKE

Matura podstawowa czerwiec 2026

Zadanie 26

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

P, P

Pokaż rozwiązanie

Dany jest stożek o promieniu podstawy \(r=3\) i tworzącej \(l=6\).

Pole powierzchni bocznej:

\[P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot6=18\pi\]

Pole podstawy:

\[P_p=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\]

Zatem \(18\pi=2\cdot9\pi\), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.

\[\sin\alpha=\frac{3}{6}=\frac12\]

\(\alpha=30^\circ\) jest kątem między wysokością a tworzącą, więc kąt rozwarcia stożka ma miarę \(2\alpha=60^\circ\).

Odpowiedź: P, P

Matura podstawowa czerwiec 2026

Zadanie 27

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(V=18\sqrt{3}\pi,\quad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\)

Pokaż rozwiązanie

W przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny \(ABD\), w którym:

\[ BD=4\sqrt{3} \] \[ |\angle ABD|=30^\circ \]

Wysokość walca to odcinek \(AD\). Leży on naprzeciw kąta \(30^\circ\), więc:

\[ AD=BD\cdot\sin30^\circ \] \[ AD=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=2\sqrt{3} \]

Odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca:

\[ AB=BD\cdot\cos30^\circ \] \[ AB=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6 \]

Promień podstawy:

\[ r=\frac{AB}{2}=3 \]

Objętość walca:

\[ V=\pi r^2 h \] \[ V=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi \]

Pole powierzchni całkowitej:

\[ P_c=2\pi r^2+2\pi rh \] \[ P_c=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt{3} \] \[ P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi \] \[ P_c=(18+12\sqrt{3})\pi \]

Odpowiedź: \(V=18\sqrt{3}\pi,\quad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\)

Matura podstawowa maj 2026

Zadanie 28

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

D. \(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie

Oznaczmy promień walca przez \(r\), a wspólną wysokość przez \(h\).

Promień podstawy stożka jest dwa razy większy, więc wynosi \(2r\).

Objętość stożka:

\[ V_s=\frac{1}{3}\pi(2r)^2h \] \[ V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot4r^2h \] \[ V_s=\frac{4}{3}\pi r^2h \]

Objętość walca:

\[ V_w=\pi r^2h \]

Stosunek objętości:

\[ \frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^2h}{\pi r^2h} = \frac{4}{3} \]

Odpowiedź: D. \(\frac{4}{3}\)

Matura podstawowa marzec 2026

Zadanie 27

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

P, P

Pokaż rozwiązanie

Walec \(C_2\) jest podobny do walca \(C_1\) w skali:

\[ k=2 \]

Pola powierzchni figur podobnych zmieniają się w skali \(k^2\):

\[ k^2=2^2=4 \]

Zatem pole powierzchni całkowitej walca \(C_2\):

\[ 12\pi\cdot4=48\pi \]

Pierwsze zdanie: prawda.

Objętości brył podobnych zmieniają się w skali \(k^3\):

\[ k^3=2^3=8 \]

Zatem objętość walca \(C_2\):

\[ 4\pi\cdot8=32\pi \]

Drugie zdanie: prawda.

Odpowiedź: P, P

Matura podstawowa sierpień 2025

Zadanie 27

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

B. \(4\pi\)

Pokaż rozwiązanie

Objętość walca obliczamy ze wzoru: \[ V=\pi r^2H \] Dane: \[ r=2,\qquad V=16\pi^2 \] Podstawiamy: \[ 16\pi^2=\pi\cdot2^2\cdot H \] \[ 16\pi^2=4\pi H \] Dzielimy obie strony przez \(4\pi\): \[ H=\frac{16\pi^2}{4\pi}=4\pi \] Odpowiedź: B. \(4\pi\).

Matura podstawowa czerwiec 2025

Zadanie 26

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

C. \(3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym.

Tworząca stożka ma długość \(6\), a kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^\circ\).

Wysokość stożka dzieli ten kąt na dwa kąty po \(30^\circ\).

Otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość \(6\), a wysokość stożka leży przy kącie \(30^\circ\).

\[ h=6\cdot\cos30^\circ \]

\[ h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ h=3\sqrt3 \]

Odpowiedź: C. \(3\sqrt3\)

Matura podstawowa maj 2025

Zadanie 25

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(64\pi\)

Pokaż rozwiązanie

Tworząca stożka ma długość:

\[ l=8 \]

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\). W przekroju osiowym wysokość stożka dzieli ten kąt na dwa kąty po \(60^\circ\).

W otrzymanym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątną jest tworząca \(l=8\).

Promień podstawy:

\[ r=8\sin60^\circ \]

\[ r=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3 \]

Wysokość stożka:

\[ h=8\cos60^\circ \]

\[ h=8\cdot\frac12=4 \]

Objętość stożka:

\[ V=\frac13\pi r^2h \]

\[ V=\frac13\pi(4\sqrt3)^2\cdot4 \]

\[ V=\frac13\pi\cdot48\cdot4 \]

\[ V=64\pi \]

Odpowiedź: \(64\pi\)

Matura podstawowa grudzień 2024

Zadanie 26

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

120°

Pokaż rozwiązanie

Objętość stożka obliczamy ze wzoru:

\[ V=\frac13\pi r^2h. \]
Podstawiamy \(V=8\pi\) oraz \(h=2\):

\[ 8\pi=\frac13\pi r^2\cdot2, \] \[ r^2=12, \] \[ r=2\sqrt3. \]
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Połowę kąta rozwarcia oznaczmy przez \(\beta\). W powstałym trójkącie prostokątnym:

\[ \tan\beta=\frac{r}{h}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3. \]
Stąd \(\beta=60^\circ\). Kąt rozwarcia stożka ma więc miarę:

\[ 2\beta=120^\circ. \]
Odpowiedź: \(120^\circ\).