Nierówności liniowe

Mnożymy obie strony nierówności przez \(15\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności nie zmienia się.

Ponieważ \(-\frac{17}{6}\approx-2{,}83\), najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(-2\).

\(3-x\ge\frac{5x-1}{2}\). Mnożymy przez \(2\): \(6-2x\ge5x-1\), więc \(7\ge7x\), czyli \(x\le1\).

Rozwiązujemy nierówność:

Upraszczamy lewą stronę:

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę:

Ponieważ \(\frac{15}{4}=3{,}75\), największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(3\).

Rozwiązujemy nierówność:

Rozwijamy nawias:

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę, liczby na drugą:

Na osi liczbowej jest to przedział:

Rozwiązujemy nierówność: \[ \frac{3(6-x)}{17}\le 3. \] Dzielimy obie strony przez \(3\): \[ \frac{6-x}{17}\le 1. \] Mnożymy przez dodatnią liczbę \(17\): \[ 6-x\le 17. \] Stąd \[ -x\le 11, \] a po pomnożeniu przez \(-1\) i zmianie zwrotu nierówności: \[ x\ge -11. \] Zbiorem rozwiązań jest przedział \[ [-11,+\infty). \]

\[\frac{3x-5}{12}<\frac13\iff 3x-5<4\iff x<3.\] Dodatnie rozwiązania całkowite to \(1\) i \(2\), więc są dwa.

\[ 1-\frac32x<\frac23-x. \]

Przenosimy wyrazy z \(x\) na lewą stronę, a liczby na prawą:

\[ -\frac32x+x<\frac23-1. \] \[ -\frac12x<-\frac13. \]

Mnożymy obie strony przez \(-2\). Ponieważ mnożymy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności:

\[ x>\frac23. \]

Zbiorem rozwiązań jest

\[ \left(\frac23,+\infty\right). \]

\[ -2(x+3)\le\frac{2-x}{3}. \] Mnożymy przez \(3\): \[ -6x-18\le2-x. \] \[ -5x\le20, \] stąd \[ x\ge-4. \]

Rozwiązujemy nierówność: \[ 2-\frac{x}{2}\ge \frac{x}{3}-3. \] Mnożymy obustronnie przez \(6\): \[ 12-3x\ge 2x-18. \] Porządkujemy nierówność: \[ 30\ge5x, \] \[ x\le6. \] Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(6\).