Nierówności kwadratowe – zadania maturalne CKE

Matura podstawowa sierpień 2026

Zadanie 9

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(x\in\left(-\dfrac13,1\right)\)

Pokaż rozwiązanie

\[x(3x-2)<1\quad\Longleftrightarrow\quad3x^2-2x-1<0.\]

Obliczamy wyróżnik i miejsca zerowe trójmianu:

\[\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,\qquad\sqrt{\Delta}=4.\]

\[x_1=\frac{2-4}{2\cdot3}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{2+4}{2\cdot3}=1.\]

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Trójmian jest ujemny pomiędzy miejscami zerowymi.

Odpowiedź: \(x\in\left(-\dfrac13,1\right)\)

Matura podstawowa czerwiec 2026

Zadanie 7

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

B. \((-3,2)\)

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność:

\[ -2(x+3)(x-2)>0 \]

Dzielimy przez liczbę ujemną \(-2\), więc zmieniamy znak nierówności:

\[ (x+3)(x-2)<0 \]

Miejsca zerowe to:

\[ x=-3,\qquad x=2 \]

Możemy spojrzeć na wykres paraboli o miejscach zerowych \(-3\) i \(2\).

Wykres paraboli z miejscami zerowymi -3 i 2

Parabola jest nad osią \(OX\) między miejscami zerowymi, więc:

\[ x\in(-3,2) \]

Odpowiedź: B. \((-3,2)\)

Matura podstawowa maj 2026

Zadanie 10

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\((-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie

Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:

\[ 3x^2+4x\ge 6x+8 \] \[ 3x^2-2x-8\ge0 \]

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

\[ 3x^2-2x-8=0 \] \[ \Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100 \] \[ \sqrt{\Delta}=10 \]

\[ x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3} \] \[ x_2=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2 \]

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.

\[ x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty) \]

Odpowiedź: \(\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\)

Matura podstawowa marzec 2026

Zadanie 8

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\((-\infty,-6)\cup(4,\infty)\)

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność:

\[ (x-3)(x+5)>9 \]

Rozwijamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ x^2+2x-15>9 \] \[ x^2+2x-24>0 \]

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:

\[ x^2+2x-24=0 \] \[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-24)=4+96=100 \] \[ \sqrt{\Delta}=10 \]

\[ x_1=\frac{-2-10}{2}=-6 \] \[ x_2=\frac{-2+10}{2}=4 \]

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(x^2+2x-24>0\) jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.

Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:

\[ x\in(-\infty,-6)\cup(4,\infty) \]

Odpowiedź: \((-\infty,-6)\cup(4,\infty)\)

Matura podstawowa sierpień 2025

Zadanie 9

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(x\in(-3,1)\)

Pokaż rozwiązanie

\(-3x^2>6x-9\). Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ -3x^2-6x+9>0 \]
Rozważamy parabolę:

\[ y=-3x^2-6x+9 \]
Obliczamy miejsca zerowe z delty:

\[ a=-3,\quad b=-6,\quad c=9 \] \[ \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot(-3)\cdot9=36+108=144 \] \[ \sqrt{\Delta}=12 \] \[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6-12}{-6}=1 \] \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6+12}{-6}=-3 \]
Parabola ma ramiona skierowane w dół, ponieważ \(a=-3<0\).

Rysunek poglądowy paraboli z miejscami zerowymi -3 i 1

Z rysunku widać, że parabola jest nad osią \(OX\) między miejscami zerowymi \(-3\) i \(1\).

\[ x\in(-3,1) \]

Matura podstawowa czerwiec 2025

Zadanie 9

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(x\in(-2,-1)\)

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność:

\[ x(x+4)\lt x-2 \]

Rozwijamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ x^2+4x\lt x-2 \]

\[ x^2+3x+2\lt 0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

\[ x^2+3x+2=0 \]

\[ a=1,\quad b=3,\quad c=2 \]

\[ \Delta=b^2-4ac \]

\[ \Delta=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \]

\[ \sqrt{\Delta}=1 \]

Obliczamy miejsca zerowe:

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-3-1}{2}=-2 \]

\[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-3+1}{2}=-1 \]

Parabola \(y=x^2+3x+2\) ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(x^2+3x+2\lt0\) jest spełniona między miejscami zerowymi.

\[ x\in(-2,-1) \]

Odpowiedź: \(x\in(-2,-1)\)

Matura podstawowa maj 2025

Zadanie 10

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(x\in\left(\frac13,\frac32\right)\)

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązujemy nierówność:

\[ 3(2x^2+1)<11x \]

Rozwijamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę:

\[ 6x^2+3<11x \]

\[ 6x^2-11x+3<0 \]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

\[ 6x^2-11x+3=0 \]

\[ a=6,\quad b=-11,\quad c=3 \]

\[ \Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49 \]

\[ \sqrt{\Delta}=7 \]

Obliczamy miejsca zerowe:

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{11-7}{12} =\frac{4}{12} =\frac13 \]

\[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{11+7}{12} =\frac{18}{12} =\frac32 \]

Parabola \(y=6x^2-11x+3\) ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność \(6x^2-11x+3<0\) jest spełniona między miejscami zerowymi.

\[ x\in\left(\frac13,\frac32\right) \]

Odpowiedź: \(x\in\left(\frac13,\frac32\right)\)

Matura podstawowa grudzień 2024

Zadanie 9

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

x ∈ [−1, 7]

Pokaż rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

\[ x(x-6)\le 7 \] \[ x^2-6x-7\le0. \]
Rozkładamy trójmian na czynniki:

\[ x^2-6x-7=(x+1)(x-7). \]
Miejsca zerowe to

\[ x_1=-1, \qquad x_2=7. \]
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.

Wykres paraboli z miejscami zerowymi -1 i 7

Wartości funkcji są niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem

\[ x\in[-1,7]. \]

Matura podstawowa czerwiec 2023

Zadanie 8

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

\(x\in\left(0,\frac32\right)\)

Pokaż rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[ x(2x-1)<2x, \] \[ 2x^2-x-2x<0, \] \[ 2x^2-3x<0. \] Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[ x(2x-3)<0. \] Miejsca zerowe czynników to \[ x=0 \quad\text{oraz}\quad 2x-3=0\iff x=\frac32. \] Z rysunku odczytujemy, że iloczyn jest ujemny pomiędzy miejscami zerowymi. Dlatego \[ x\in\left(0,\frac32\right). \]

Matura podstawowa grudzień 2022

Zadanie 8

Otwórz w arkuszu

Pokaż odpowiedź

B. \(k=2\)

Pokaż rozwiązanie

Miejsca zerowe iloczynu to \(x=3\) oraz \(x=-k\). Rozwiązaniem nierówności jest przedział między miejscami zerowymi: \[ (-2,3). \] Stąd \(-k=-2\), więc \[ k=2. \]