Pozostałe zadania z geometrii płaskiej, własności figur i twierdzenia geometryczne.
Po usunięciu patyczków \(AF\) i \(AB\) pozostaje prostokąt oraz prawy trójkąt. Figura ma jedną poziomą oś symetrii, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Po usunięciu patyczka \(FE\) pozostała figura nadal ma pionową oś symetrii przechodzącą przez środki odcinków \(FE\) i \(BC\). Drugie zdanie jest więc fałszywe.
Przyjmijmy, że schronisko \(S\) ma współrzędne \((0,0)\). Wtedy:
Odległość schroniska od wieży:
Odległość schroniska od muzeum także wynosi 5 km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Odległość muzeum od wieży:
Ponieważ \(\sqrt{90}<\sqrt{100}=10\), drugie zdanie także jest prawdziwe.
Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowa przekątnej \(BD\) ma \(6\) cm.
Z twierdzenia Pitagorasa:
Pole rombu:
Z drugiej strony \(P=10h\), więc:
Rzeczywisty bok małej tablicy:
Pole małej tablicy:
Pole dużej tablicy:
W trójkącie \(KLM\) trzeci kąt ma miarę:
Ma on dwa kąty po \(59^\circ\), więc jest równoramienny. Pierwsze zdanie jest fałszywe.
Oba trójkąty mają kąty \(62^\circ\) i \(59^\circ\), a bok zawarty między tymi kątami ma długość 7. Trójkąty są przystające na podstawie cechy kąt–bok–kąt.
Promień okręgu ma długość \(20:2=10\) cm. Zatem:
Obwód trójkąta nie wynosi 36 cm, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.
Drugie zdanie jest prawdziwe.
Z warunku \(AC=BC\) otrzymujemy równanie:
Długości boków:
Wszystkie trzy boki mają tę samą długość, więc trójkąt \(ABC\) jest równoboczny.
Oznaczmy bok małego kwadratu w dolnym prawym rzędzie przez \(x\).
Duży kwadrat po prawej ma bok długości \(3x\), więc wysokość całego prostokąta wynosi:
Dwa kwadraty po lewej mają łącznie wysokość \(4x\), więc bok każdego z nich ma długość \(2x\).
Szerokość prostokąta wynosi:
W równoległoboku \(ABCD\) mamy \(AB\parallel DC\), a z zaznaczonego kąta prostego wynika, że \(DE\perp AB\). Zatem:
W równoległoboku \(ECFD\) odcinek \(DE\) jest równoległy do \(CF\), więc \(DC\) jest wysokością tego równoległoboku. Pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Pole równoległoboku \(ABCD\):
Pole równoległoboku \(ECFD\):
Ponieważ w równoległoboku \(ABCD\) przeciwległe boki są równe, \(AB=DC\), więc \(P_1=P_2\).
Pole trójkąta \(ACD\):
Pole trójkąta \(ABC\):
Oznaczmy szukaną wysokość przez \(h\):
Jeden z kątów rombu ma \(120^\circ\). Kąt sąsiedni ma więc:
Boki rombu wraz z krótszą przekątną tworzą trójkąt równoboczny. Bok rombu ma długość:
Zatem krótsza przekątna rombu również ma długość \(6\) cm.
Przekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym. Połowa krótszej przekątnej ma więc długość:
Otrzymujemy trójkąt prostokątny o bokach \(3\), \(x\) i \(6\), gdzie \(x\) jest połową dłuższej przekątnej.
Z twierdzenia Pitagorasa:
Dłuższa przekątna ma więc długość:
Sprawdzamy:
Bok rombu: \(52:4=13\) cm. Połowa przekątnej AC ma 12 cm. Jeśli \(x\) jest połową BD, to \(12^2+x^2=13^2\), więc \(x=5\). Stąd \(BD=10\) cm.
