Figury podobne

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, więc trójkąty \(ABC\) oraz \(ADE\) są podobne.

Na dolnym ramieniu kąta:

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi:

Odcinkowi \(BC\) odpowiada odcinek \(DE\), więc:

W trapezie \(ABCD\) podstawy są równoległe i: \[ |AB|=2|CD| \] Punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne w stosunku długości podstaw: \[ \frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{CD}=2 \]
Dla trójkątów \(BCE\) i \(AED\) kąty przy punkcie \(E\) są wierzchołkowe, więc mają tę samą miarę. Stosunek pól: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=\frac{BE\cdot CE}{AE\cdot ED} \] Ponieważ \(\frac{BE}{ED}=2\) oraz \(\frac{CE}{AE}=\frac12\), otrzymujemy: \[ \frac{P_{BCE}}{P_{AED}}=2\cdot\frac12=1 \] Zatem pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Dla trójkątów \(ABE\) oraz \(CDE\): \[ \frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}=\frac{AE\cdot BE}{CE\cdot DE}=2\cdot2=4 \] Pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy większe — drugie zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Niech \(a\) oznacza długość boku kwadratu \(\mathcal K_1\).

Kwadrat \(\mathcal K_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal K_1\) w skali \(5\), więc jego bok ma długość:

Pole kwadratu \(\mathcal K_1\):

Pole kwadratu \(\mathcal K_2\):

Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\), więc:

Dane są długości boków trójkąta \(ABC\):

Trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Z zapisu podobieństwa wynika przyporządkowanie wierzchołków:

Zatem bokowi \(AC\) odpowiada bok \(BA\), a bokowi \(AB\) odpowiada bok \(BD\).

Skala podobieństwa od trójkąta \(ABC\) do trójkąta \(BDA\):

Dlatego:

Trójkąty \(ADC\) i \(ACB\) są podobne na podstawie cechy kąt–kąt–kąt:

• oba są trójkątami prostokątnymi,
• ponieważ \(AB\parallel DC\), to \(\angle ACD=\angle CAB\).

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję:

\[ \frac{|DC|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|}. \]
Podstawiamy dane:

\[ \frac{|DC|}{6}=\frac{6}{7{,}5}, \] \[ |DC|=\frac{36}{7{,}5}=4{,}8. \]
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) obliczamy długość boku \(BC\):

\[ |BC|=\sqrt{7{,}5^2-6^2}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5. \]
Z podobieństwa trójkątów:

\[ \frac{|AD|}{|BC|}=\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6}{7{,}5}, \] \[ |AD|=4{,}5\cdot\frac{6}{7{,}5}=3{,}6. \]
Pole trapezu jest równe:

\[ P=\frac{(7{,}5+4{,}8)\cdot3{,}6}{2}=22{,}14. \]
Odpowiedź: \(22{,}14\).

Trójkąty \(AEB\) i \(DEC\) są podobne na mocy cechy kąt–kąt–kąt. Oba trójkąty są prostokątne: \[ \angle EAB=\angle EDC=90^\circ, \] a kąty \[ \angle AEB \quad\text{i}\quad \angle DEC \] są kątami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Zatem także trzecie kąty są równe. Niech \[ AE=x. \] Wtedy \[ ED=24-x. \] Z podobieństwa trójkątów: \[ \frac{AE}{ED}=\frac{AB}{DC}. \] Podstawiamy dane: \[ \frac{x}{24-x}=\frac{12}{6}=2. \] Stąd: \[ x=2(24-x), \] \[ x=48-2x, \] \[ 3x=48, \] \[ x=16. \] Zatem \[ AE=16. \] W trójkącie prostokątnym \(AEB\), korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \[ BE^2=AE^2+AB^2, \] \[ BE^2=16^2+12^2=256+144=400, \] więc \[ BE=20. \]

Stosunek pól podobnych trapezów wynosi
\[\frac{13}{52}=\frac14.\]
Stosunek długości jest pierwiastkiem ze stosunku pól, czyli \(\frac12\). Zatem obwód mniejszego trapezu:
\[36\cdot\frac12=18.\]

Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne: mają równe kąty wierzchołkowe przy \(E\), a pozostałe kąty są równe, ponieważ \(AB\parallel CD\). Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\) i równe wysokości, więc mają równe pola. Oba zdania są prawdziwe.

Z treści zadania odczytujemy, że pole trójkąta \(T_2\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_1\): \[ \frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=9. \] Dla figur podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa: \[ k^2=9. \] Ponieważ skala jest dodatnia, \[ k=\sqrt9=3. \] Zatem trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(3\). Poprawne uzupełnienie: A, ponieważ 2.

Trójkąt \(T_1\) ma przyprostokątne \(5\) i \(12\), więc jego przeciwprostokątna ma długość \[ 13. \] W trójkącie \(T_2\) przeciwprostokątna ma długość \(26\), zatem skala podobieństwa wynosi \[ k=\frac{26}{13}=2. \] Przyprostokątne \(T_2\) mają długości \(10\) i \(24\), więc \[ P_{T_2}=\frac12\cdot10\cdot24=120. \]

Trójkąty \(ADO\) i \(BCO\) są podobne: oba są prostokątne i mają równe kąty wierzchołkowe przy punkcie \(O\). Z podobieństwa: \[ \frac{AD}{BC}=\frac{OD}{OC}. \] Podstawiamy dane: \[ \frac46=\frac6{OC}. \] Stąd \[ 4\cdot OC=36, \] więc \[ OC=9. \]

Niech \(x\) oznacza, jaką część przekątnej długości \(12\) stanowi bok rombu równoległy do tej przekątnej. Wtedy długość boku rombu wynosi \(12x\). Z podobieństwa odpowiednich trójkątów drugi bok rombu, równoległy do przekątnej długości \(16\), ma długość \(16(1-x)\). Ponieważ wszystkie boki rombu są równe: \[ 12x=16(1-x). \] Zatem \[ 12x=16-16x, \] \[ 28x=16, \] \[ x=\frac47. \] Długość boku rombu jest równa \[ 12\cdot\frac47=\frac{48}{7}. \]

Trójkąty \(ABO\) i \(CDO\) są podobne. Stosunek ich obwodów jest równy stosunkowi odpowiadających wysokości: \[ 39:13=3:1. \] Niech wysokość trójkąta \(CDO\) będzie równa \(x\). Wysokość trójkąta \(ABO\) wynosi wtedy \(3x\). Suma tych wysokości jest wysokością trapezu: \[ x+3x=12. \] Stąd \(x=3\), więc szukana wysokość wynosi \[ 3x=9. \]