Pola i obwody figur płaskich oraz figur złożonych.
Trójkąt \(ADB\) jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
Obwód równoległoboku:
Wysokość trapezu jest równa \(BC=8\) cm. Ponieważ kąt \(DAB\) ma \(45^\circ\), pozioma różnica długości podstaw również wynosi \(8\) cm:
Niech \(CD=x\). Wtedy \(AB=3x\).
Zatem \(CD=4\) cm, a \(AB=12\) cm. Pole trapezu:
W trójkącie równobocznym o boku 2 wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki długości 1.
Z twierdzenia Pitagorasa:
Pole trójkąta wynosi:
Oba zdania są prawdziwe.
Pole trójkąta \(ADE\) jest równe:
Odcinek \(AD\) jest bokiem kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu wynosi więc:
Pole ogrodu w kształcie trapezu:
Jedno opakowanie wystarcza na 25 m². Potrzebna liczba opakowań:
Trzeba więc kupić 6 pełnych opakowań.
Koszt:
Trójkąt odcięty od prostokąta jest prostokątny równoramienny. Jedna jego przyprostokątna jest równa krótszemu bokowi prostokąta, czyli 3. Druga także ma długość 3.
Jego przeciwprostokątna ma długość:
Po złożeniu figur przeciwprostokątne tworzą dwa skośne boki równoległoboku. Dłuższy bok równoległoboku ma długość 9.
Obwód równoległoboku wynosi:
Skala \(2:1\) podwaja długości boków, więc obwód także jest dwa razy większy.
W trójkącie \(ADB\) odcinek \(BD=\sqrt{18}=3\sqrt2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Jego przyprostokątne mają więc po \(3\):
W trójkącie \(DCB\) odcinki \(DB\) i \(DC\) są równymi przyprostokątnymi, zatem \(DC=3\sqrt2\), a przeciwprostokątna:
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych:
Pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Pola figur nie są równe, więc drugie zdanie jest fałszywe.
Pole trapezu:
Różnica długości podstaw wynosi \(9-1=8\) cm. Długość ramienia ukośnego:
Oznaczmy długość podstawy przez \(x\). Każde ramię ma wtedy długość \(x+3\).
Podstawa ma 10 cm, a każde ramię 13 cm. Wysokość dzieli podstawę na dwie części po 5 cm.
Trójkąt \(DBC\) jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
Pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Trójkąty \(ADC\) i \(DBC\) mają równe podstawy \(AD=DB\) oraz tę samą wysokość, więc mają równe pola. Pole całego trójkąta \(ABC\) jest zatem dwa razy większe od pola \(ADC\).
Trójkąt \(EFG\) ma boki 6, 8 i 10. Bok kwadratu ma długość \(EG=6\), a bok rombu ma długość \(FG=10\).
Bok kwadratu ma 15 cm. Z podziału boków odczytujemy:
Pole czworokąta \(AECF\) obliczymy, odejmując od pola kwadratu pola trójkątów \(ABE\) i \(ADF\).
Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\). Prostokąt \(EBCF\) ma boki 10 cm i \(a\).
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości przekątnych:
W trójkącie prostokątnym \(ADE\):
Trapez jest równoramienny, więc po drugiej stronie otrzymujemy taki sam odcinek długości 5 cm.
Trójkąt \(ADE\) jest prostokątny i równoramienny. Oznaczmy długość jego przyprostokątnej przez \(a\).
Pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Długości przyprostokątnych trójkąta \(ABC\):
Pole trójkąta \(ABC\):
Drugie zdanie również jest prawdziwe.
Trójkąt \(AED\) jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
W trójkącie \(ACE\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(C\) mają taką samą miarę, więc boki leżące naprzeciw nich są równe:
Długość boku prostokąta:
Trapez \(ABCE\) ma podstawy długości 40 cm i 25 cm oraz wysokość 20 cm:
Suma liczb w podanym stosunku wynosi:
Obwód ma 33 cm, więc jedna część ma:
Najkrótszy bok odpowiada 2 częściom:
Trójkąty \(EAF\) i \(FBC\) są jednakowe. Kąt \(\alpha\) w trójkącie \(EAF\) leży przy wierzchołku \(E\), a w trójkącie \(FBC\) przy wierzchołku \(F\). Kąty proste leżą odpowiednio przy \(A\) i \(B\).
Zatem odpowiadają sobie boki:
Ponieważ \(AE=3\) cm i \(BC=4\) cm, mamy:
Długość prostokąta:
Pole prostokąta:
Punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\), a \(EC=6\) cm, więc:
Punkt \(F\) jest środkiem boku \(CD\). Oznaczmy połowę długości \(CD\) przez \(x\).
W trójkącie prostokątnym \(ECF\):
Zatem \(CD=16\) cm. Obwód prostokąta:
Kwadrat \(K\) o polu \(49\text{ cm}^2\) ma bok długości:
Boki danych figur mają długości 5 cm i 3 cm. Żadna suma długości boków tych figur nie daje 7 cm, więc nie można z nich ułożyć boku kwadratu długości 7 cm bez rozcinania figur.
Pole części \(A\):
Pole części \(B\):
Część \(B\) ma trzy razy większe pole, więc:
Pole jednego trójkąta: \(\frac12\cdot3\cdot4=6\) cm², więc pole trapezu to \(3\cdot6=18\) cm². Przeciwprostokątna ma \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) cm. Obwód: \(3+4+5+6=18\) cm. Oba zdania są prawdziwe.
