Własności kątów

Ponieważ \(CD\) jest prostopadły do prostych równoległych \(k\) i \(l\), kąt między \(CA\) i prostą \(l\) ma miarę:

Z równoległości prostych wynika, że kąt \(ABC\) ma \(26^\circ\). Kąt \(ACB\) jest różnicą kątów, które proste \(CA\) i \(CB\) tworzą z prostymi równoległymi:

Kąty trójkąta \(ABC\) mają więc miary \(130^\circ\), \(26^\circ\) i \(24^\circ\). Żadne dwa nie są równe.

Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi \(360^\circ\).

Z treści zadania:

Zatem:

Stąd:

W trójkącie \(ABC\) kąty przy podstawie mają po:

W trójkącie \(ABD\) kąt między ramionami jest przy \(B\), więc kąty przy podstawie mają po:

Stąd \(\angle DAC=70^\circ-50^\circ=20^\circ\). Proste \(AC\) i \(BD\) tworzą kąt prosty, więc \(\angle ASB=90^\circ\).

Wniosek 1 jest prawdziwy. Dwa kąty proste albo dwa kąty rozwarte miałyby sumę co najmniej \(180^\circ\), więc nie mogłyby być kątami jednego trójkąta.

Wniosek 2 jest fałszywy. Istnieje trójkąt równoramienny rozwartokątny, np. o kątach \(100^\circ,40^\circ,40^\circ\).

Wniosek 3 jest prawdziwy. Gdy suma dwóch kątów jest większa od \(90^\circ\), trzeci kąt ma miarę mniejszą od \(90^\circ\).

W trójkącie \(EBC\):

Kąty \(AEC\) i \(BEC\) są przyległe, więc:

W równoległoboku \(AECD\) kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do \(180^\circ\).

W trapezie kąty przy ramieniu \(BC\) są dopełniające do \(180^\circ\):

Kąt przyległy do kąta \(142^\circ\) ma miarę:

Proste \(d\) i \(e\) są prostopadłe, więc:

Mamy:

Dodajemy stronami:

Ponieważ \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\), otrzymujemy:

Stąd:

Różnica między największym i najmniejszym kątem wynosi \(70^\circ-50^\circ=20^\circ\).

Ponieważ \(AB\parallel DC\), kąty przy ramieniu \(AD\) są dopełniające do \(180^\circ\):

Odcinek \(EC\) jest równoległy do \(AD\), dlatego kąt \(CEB\) ma miarę \(45^\circ\).

W trójkącie \(EBC\) suma kątów wynosi \(180^\circ\):

Dwa trapezy są identyczne i równoramienne. Ich ramiona tworzą boki trójkątów po lewej i po prawej stronie prostokąta, dlatego w każdym z tych trójkątów dwa boki są równe. Trójkąty są więc równoramienne.

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Jeżeli kąty ostre trapezów miałyby po \(30^\circ\), to kąty przy pionowych bokach prostokąta w powstałych trójkątach miałyby:

Dwa kąty trójkąta miałyby po \(60^\circ\), więc trzeci również miałby \(60^\circ\). Trójkąty byłyby równoboczne.

Trójkąt \(ACD\) jest równoboczny, więc:

Zatem:

W trójkącie \(ABC\) mamy \(AB=AC\), więc kąty przy podstawie są równe:

Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Kąt przy wierzchołku \(A\) w trójkącie \(ABC\):

Stąd:

Drugie zdanie jest prawdziwe.

\(\angle ADB=180^\circ-130^\circ=50^\circ\). Ponieważ \(AD=BD\), kąty przy podstawie trójkąta ADB mają po \((180^\circ-50^\circ):2=65^\circ\). W trójkącie ADC: \(\angle DAC=180^\circ-130^\circ-35^\circ=15^\circ\). Zatem \(\angle CAB=65^\circ+15^\circ=80^\circ\).