Wzory skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.

Wyłączamy \(x\) przed nawias:

W nawiasie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Zatem:

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Podstawiamy \(x=\sqrt{2}-5\):

Obliczamy wartość wyrażenia:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

W naszym zadaniu:

Rozwijamy pierwszy nawias:

Rozwijamy drugi nawias:

Podstawiamy oba wyniki do początkowego wyrażenia:

Przy odejmowaniu nawiasu zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie:

Redukujemy wyrazy podobne:

Otrzymujemy:

Obliczamy:

Rozwijamy kwadrat sumy:

Ponieważ:

otrzymujemy:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw upraszczamy pierwiastek:

Zatem:

Rozwijamy oba kwadraty:

Odejmujemy:

\[(2\sqrt{10}+\sqrt2)^2=40+4\sqrt{20}+2=42+8\sqrt5.\]

Rozwijamy oba kwadraty:

\[ (2a+b)^2=(2a)^2+2\cdot2a\cdot b+b^2 =4a^2+4ab+b^2, \] \[ (2a-b)^2=(2a)^2-2\cdot2a\cdot b+b^2 =4a^2-4ab+b^2. \]

Odejmujemy:

\[ (2a+b)^2-(2a-b)^2 \] \[ =(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2) \] \[ =4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2 =8ab. \]

Rozwijamy oba kwadraty, korzystając ze wzoru \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \] Mamy \[ (2-\sqrt3)^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2 =4-4\sqrt3+3 =7-4\sqrt3. \] Podobnie \[ (\sqrt3-2)^2=(\sqrt3)^2-2\cdot\sqrt3\cdot2+2^2 =3-4\sqrt3+4 =7-4\sqrt3. \] Zatem \[ (2-\sqrt3)^2-(\sqrt3-2)^2 =(7-4\sqrt3)-(7-4\sqrt3)=0. \] Poprawna jest odpowiedź B.

Najpierw rozpisujemy oba wzory skróconego mnożenia: \[ (1+\sqrt5)^2=1^2+2\cdot1\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2. \] Ponieważ \((\sqrt5)^2=5\), otrzymujemy \[ (1+\sqrt5)^2=1+2\sqrt5+5=6+2\sqrt5. \] Podobnie \[ (1-\sqrt5)^2=1^2-2\cdot1\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2, \] czyli \[ (1-\sqrt5)^2=1-2\sqrt5+5=6-2\sqrt5. \] Zatem \[ (1+\sqrt5)^2-(1-\sqrt5)^2 =(6+2\sqrt5)-(6-2\sqrt5). \] Usuwamy nawias: \[ 6+2\sqrt5-6+2\sqrt5=4\sqrt5. \] Poprawna jest odpowiedź C.

Rozwijamy oba kwadraty: \[ (2a-3)^2=4a^2-12a+9, \] \[ (2a+3)^2=4a^2+12a+9. \] Odejmujemy: \[ (2a-3)^2-(2a+3)^2 =4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9). \] Redukujemy wyrazy podobne: \[ 4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a. \]

Mamy \[ 9-(x^2-2xy+y^2)=9-(x-y)^2. \] Stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[ 9-(x-y)^2=[3-(x-y)][3+(x-y)], \] co odpowiada odpowiedzi D. Ponadto \[ -[(x-y)-3][(x-y)+3]=[3-(x-y)][3+(x-y)], \] więc poprawna jest także odpowiedź F.