Bryły, siatki, pola powierzchni i objętości.
Siatka składa się z \(6\) kwadratów. Ma \(5\) wspólnych krawędzi, więc jej obwód jest równy \(14a\), gdzie \(a\) jest długością krawędzi sześcianu.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu:
Największa ściana boczna odpowiada najdłuższemu bokowi podstawy, czyli przeciwprostokątnej. Jest kwadratem o polu \(169\text{ cm}^2\), więc jej bok ma długość:
Przeciwprostokątna podstawy i wysokość graniastosłupa mają zatem po \(13\) cm. Jeden bok trójkąta prostokątnego ma \(5\) cm. Drugi obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
Pole podstawy:
Objętość graniastosłupa:
Otrzymany prostopadłościan ma wymiary:
Jego pole powierzchni całkowitej wynosi:
Podstawą ostrosłupa \(ACDS\) może być trójkąt \(ACD\). Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), więc:
Punkt \(S\) jest środkiem pionowej krawędzi \(DH\), zatem wysokość ostrosłupa opuszczona na płaszczyznę podstawy wynosi:
Objętość ostrosłupa:
Objętość sześcianu:
Porównujemy objętości:
Prostopadłościany ustawiono na jednakowych podstawach \(6\times10\), więc powstała bryła o wymiarach \(6,\ 10,\ 11\).
Pole kwadratowej podstawy:
Bok podstawy ma długość \(9\) cm. Pole powierzchni całkowitej:
Jeśli krawędź sześcianu ma długość \(a\), to:
Kostka ma objętość \(1\ \text{dm}^3\), więc jej krawędź ma długość 1 dm.
Skoro 1 dm stanowi \(\frac25\) długości \(c\), to:
Obwód kwadratowej podstawy:
Wysokość ostrosłupa jest o 8 cm mniejsza:
Pole podstawy:
Ściana boczna jest trójkątem o wysokości 12 cm. Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez \(a\).
Wysokość ściany bocznej dzieli krawędź podstawy na połowy, więc połowa podstawy trójkąta ma 9 cm. Krawędź boczna \(k\):
Ostrosłup ma cztery krawędzie podstawy i cztery krawędzie boczne.
Pole kwadratowej podstawy:
Wysokość graniastosłupa:
Odcinek długości 18 cm obejmuje szerokości trzech ścian bocznych, czyli trzy krawędzie podstawy:
Wysokość graniastosłupa:
Pole powierzchni bocznej jest równe obwodowi podstawy pomnożonemu przez wysokość:
Oznaczmy liczbę sześcianów przez \(x\). Ostrosłupów trójkątnych jest \(3x\).
Sześcian ma 12 krawędzi, a ostrosłup trójkątny ma 6 krawędzi.
Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(h\).
Z rysunku 1 suma pogrubionych krawędzi daje:
Z rysunku 2:
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
Podstawiamy do pierwszego równania:
Ponieważ zielone ściany są kwadratami, z rysunku wynika, że podstawa ma wymiary \(3\text{ cm}\times3\text{ cm}\). Objętość:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery jednakowe ściany boczne.
Skoro jedna ściana boczna ma pole \(\frac29P\), to pole powierzchni bocznej wynosi:
Pole podstawy jest równe:
Jedna ściana boczna ma pole \(\frac29P\), a podstawa \(\frac19P\), więc pole podstawy jest dwa razy mniejsze.
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa:
Pole kwadratowej podstawy:
Wyznaczamy wysokość ostrosłupa:
Wysokość pierwszej wieży:
Wysokość drugiej wieży:
Różnica wysokości:
Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej \(c\):
Pole jednej podstawy:
Obwód podstawy:
Wysokość graniastosłupa wynosi 1 cm, więc pole powierzchni bocznej:
Jest ono dwa razy większe od pola jednej podstawy.
Pole całkowite:
Po wycięciu kwadratów o boku \(2{,}5\) cm wysokość pudełka wynosi:
Wymiary podstawy pudełka:
Objętość:
Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n+1\) wierzchołków.
Graniastosłup o podstawie piętnastokąta ma:
wierzchołków.
W ostrosłupie sąsiednie ściany boczne mają wspólne krawędzie boczne.
W trójkącie \(T_1\) ramiona mają 5 cm, a w \(T_2\) 6 cm, więc nie mogą być odpowiednimi wspólnymi krawędziami jednego ostrosłupa.
Z twierdzenia Pitagorasa:
Najmniejsza ściana boczna ma pole 54 cm²:
Suma krawędzi:
Z rysunku \(3a=48\), więc \(a=16\) cm. Ponadto \(h+a=41\), więc \(h=25\) cm. \(V=a^2h=16^2\cdot25=6400\) cm³.
