Ciągi

Liczymy kolejne wyrazy ciągu:

Ciąg jest określony wzorem:

\[ a_n=\frac{32\cdot(-1)^n}{2^{\,n-1}} \]
Szukamy szóstego wyrazu, więc podstawiamy \(n=6\):

\[ a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}} \] \[ a_6=\frac{32\cdot1}{2^5} \] \[ a_6=\frac{32}{32}=1 \]
Odpowiedź: C. \(1\).

Ciąg jest określony wzorem:

Obliczamy trzy pierwsze wyrazy:

Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów:

Ciąg jest określony rekurencyjnie:

Obliczamy kolejne wyrazy:

Korzystamy ze związku \[ a_n=S_n-S_{n-1}. \] Obliczamy: \[ S_3=3^2+2\cdot3=9+6=15, \] \[ S_2=2^2+2\cdot2=4+4=8. \] Zatem \[ a_3=S_3-S_2=15-8=7. \]

Wyrazy ciągu to kolejno \(7,3,7,3,\ldots\). Dziesięć pierwszych wyrazów tworzy pięć par, więc \[5\cdot(7+3)=50.\]

\[ a_1=(-1)^1(1-5)=4,\qquad a_3=(-1)^3(3-5)=2. \] Zatem pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego — pierwsze zdanie jest prawdziwe. Dla \(n=7\): \[ a_7=(-1)^7(7-5)=-2, \] więc nie wszystkie wyrazy są dodatnie — drugie zdanie jest fałszywe.

Korzystamy ze wzoru \[S_n=4(2^n-1).\] Najpierw obliczamy pierwszy wyraz: \[a_1=S_1=4(2^1-1)=4(2-1)=4.\] Zatem pierwsze zdanie jest prawdziwe. Teraz obliczamy sumę dwóch pierwszych wyrazów: \[S_2=4(2^2-1)=4(4-1)=4\cdot3=12.\] Ponieważ \[S_2=a_1+a_2,\] to \[a_2=S_2-a_1=12-4=8.\] Drugi wyraz ciągu nie jest równy \(12\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

\[a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=-1\cdot2=-2.\]

\[ \frac{n-2}{3}<10\iff n<32. \] Dla \(n\in\mathbb N\), \(n\ge1\), możliwe są wartości \(1,2,\ldots,31\). Jest ich \(31\).

\[ a_4=2^4(4+1)=16\cdot5=80. \]

Dla kolejnych wyrazów mamy \[ a_{n+1}-a_n=2(n+1)^2+(n+1)-(2n^2+n)=4n+3>0, \] więc ciąg jest rosnący, a nie malejący. Pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponadto \[ a_8=2\cdot8^2+8=128+8=136, \] więc drugie zdanie jest prawdziwe.

Podstawiamy \(n=50\): \[ a_{50}=\frac{7^{50}}{21}=\frac{7^{50}}{3\cdot7}=\frac{7^{49}}3. \]

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów: \[ a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3>0. \] Ciąg jest więc rosnący. Poprawne uzupełnienie to A oraz 3.

Rozwiązujemy nierówność \[ 3n-1>25. \] Stąd \[ 3n>26,\qquad n>\frac{26}{3}. \] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest \(9\).

Wyznaczamy sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n=3n-1\): \[ a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=8,\quad a_4=11,\quad a_5=14,\quad a_6=17. \] Ich suma jest równa \[ 2+5+8+11+14+17=57. \] Zatem \(n=6\), czyli poprawna jest odpowiedź A.