Równanie okręgu

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu, więc środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\).

Promień to odległość środka od punktu \(A\):

Równanie okręgu:

Środek okręgu to:

Sprawdzamy odległość punktu \(A=(4,-7)\) od środka okręgu:

Promień okręgu wynosi \(5\), więc punkt \(A\) leży na okręgu.

Równanie okręgu o środku \((1,-3)\) i promieniu \(5\) ma postać:

W podanym zdaniu po prawej stronie jest \(5\), a powinno być \(25\).

Dane są końce przekątnej kwadratu:

Środek okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\) jest środkiem przekątnej \(AC\):

Promień okręgu jest równy połowie długości przekątnej \(AC\).

Po odbiciu kwadratu względem osi \(OY\) środek okręgu \(S=(1,3)\) przechodzi na punkt:

Promień nie zmienia się, więc:

Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:

Równanie okręgu:

Okrąg ma równanie: \[ (x-1)^2+(y+3)^2=4 \] Stąd środek okręgu to: \[ S=(1,-3) \] a promień: \[ r=2 \]
Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(3\). Ponieważ \(3>2\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\). Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Odległość środka od osi \(Oy\) wynosi \(1\). Ponieważ \(1<2\), oś \(Oy\) przecina okrąg w dwóch punktach. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Odpowiedź: P, P.

Okrąg \(\mathcal O\) ma równanie:

Środek tego okręgu ma współrzędne:

Promień okręgu jest równy \(3\), ponieważ:

Symetria osiowa względem osi \(Oy\) zmienia znak współrzędnej \(x\), a współrzędna \(y\) pozostaje bez zmian.

Obrazem okręgu jest więc okrąg o środku \((1,2)\) i promieniu \(3\):

Środek okręgu ma współrzędne:

Okrąg przechodzi przez punkt:

Obliczamy kwadrat promienia:

Równanie okręgu o środku \((2,4)\) i promieniu spełniającym \(r^2=20\) ma postać:

Okrąg nie ma punktów wspólnych z osiami, gdy odległość jego środka od każdej osi jest większa od promienia.

Dla okręgu \(o_3\) środek ma współrzędne \((3,4)\), a promień jest równy \(2\). Odległości środka od osi wynoszą odpowiednio \(3\) i \(4\), a więc obie są większe od \(2\).

Pozostałe okręgi przecinają co najmniej jedną z osi albo są do niej styczne.

Odpowiedź: C. \(o_3\).

Środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\): \[ S=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3). \] Promień jest równy odległości środka od punktu \(A\): \[ r^2=(-4-1)^2+(7-3)^2=25+16=41. \] Równanie okręgu ma więc postać \[ (x-1)^2+(y-3)^2=41. \]

Dla punktu \((-1,-3)\): \[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5,\] więc punkt należy do okręgu. Promień okręgu wynosi \(\sqrt5\), a nie \(5\).

Środek okręgu \((1,-2)\) przechodzi w symetrii względem początku układu na \((-1,2)\). Równanie obrazu to \[(x+1)^2+(y-2)^2=5.\]

Środek to \(S=(4,-2)\). Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(2\), więc \(r=2\). Zatem \[(x-4)^2+(y+2)^2=4.\]

Równanie okręgu o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]
Dla \(S=(-1,2)\) i \(r=3\) otrzymujemy
\[(x+1)^2+(y-2)^2=9.\]

Na osi \(Oy\) mamy \(x=0\). Podstawiamy do równania okręgu: \[ (0-3)^2+(y-3)^2=13, \] \[ 9+(y-3)^2=13, \] \[ (y-3)^2=4. \] Zatem \[ y-3=\pm2, \] czyli \(y=1\) lub \(y=5\).

Środkiem okręgu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\) jest punkt \(S=(3,-1)\). Odległość punktu \(A=(8,11)\) od środka: \[ AS=\sqrt{(8-3)^2+(11+1)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13. \]