Funkcje

Z wykresu odczytujemy najmniejszą wartość \(-3\) i największą wartość \(1\), stąd zbiór wartości to \([-3,1]\).

Wykres leży poniżej osi \(Ox\) dla \(x\in(-2,4)\). Największą wartość \(1\) funkcja przyjmuje dla \(x\in(-5,-3]\).

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe funkcji, czyli punkty przecięcia wykresu z osią \(OX\).

Funkcja ma więc dokładnie \(3\) miejsca zerowe.

Największa wartość funkcji jest równa \(3\) i jest osiągana dla argumentu:

Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych we wzorze funkcji:

Funkcja przyjmuje wartości nieujemne tam, gdzie jej wykres leży na osi \(OX\) albo nad osią \(OX\).

Funkcja jest określona wzorem:

Rozwiązujemy równanie \(f(x)=3\).

Dla pierwszego przedziału:

Dla drugiego przedziału:

Ale liczba \(2\) nie należy do przedziału \((2,5)\), więc nie jest tutaj rozwiązaniem.

Największą wartość funkcji w przedziale \([2,3]\) odczytujemy z wykresu. Dla \(x=2\) mamy:

Najmniejsza wartość funkcji to \(-2\), a największa wartość funkcji to \(4\).

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od \(1\).

Dla pierwszego wzoru:

W pierwszym przedziale daje to:

Dla drugiego wzoru:

W drugim przedziale daje to:

Łącznie:

Analizujemy wykres i wzór funkcji.

Na przedziale \([-4,-2)\) funkcja jest opisana wzorem:

Ta część wykresu rośnie, ale punkt \(x=-2\) należy już do drugiego wzoru. Mamy:

Na końcu przedziału następuje więc „skok” w dół, dlatego funkcja nie jest rosnąca w całym przedziale \([-4,-2]\).

Na przedziale \([1,3]\) funkcja zaczyna się od wartości:

Dla \(x\in(1,3]\) mamy:

Ta funkcja jest malejąca, a wartości spadają od \(4\) do \(-1\).

Największą wartość funkcji odczytujemy z wykresu.

Wartość \(4\) funkcja przyjmuje dla \(x=1\).

Teraz analizujemy równanie:

Liczba \(\sqrt{5}\) leży między \(2\) i \(3\), ponieważ:

Pozioma prosta \(y=\sqrt{5}\) przecina wykres funkcji w trzech miejscach: na pierwszym, drugim i trzecim odcinku wykresu.

Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych w definicji funkcji:

Zatem:

Rozwiązujemy nierówność:

Na pierwszych dwóch częściach wykresu funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od \(1\).

Dla trzeciego wzoru:

Uwzględniamy przedział, w którym obowiązuje ten wzór:

Ostatecznie:

Miejsce zerowe spełnia \(f(x)=0\). Dla drugiego wzoru \(x-1=0\), więc \(x=1\). Dla pierwszego wzoru zero byłoby przy \(x=-5\), ale \(-5\) nie należy do dziedziny tego fragmentu. Ponadto \(f(-2)=-2-1=-3\), a \(f(2)=2-1=1\), więc \(f(-2)+3f(2)=-3+3\cdot1=0\).

Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), osiągana dla \(x=-3\). Największa wartość to \(3\), osiągana dla \(x=4\). Zatem zbiór wartości to \([-4,3]\). Nierówność \(f(x)<-2\) jest spełniona dla argumentów od \(-4\) do \(-1\), bez końców, czyli \((-4,-1)\).

Funkcja jest określona wzorem:

1. Dziedzina funkcji

Łączymy wszystkie przedziały, na których funkcja jest określona:

2. Zbiór wartości funkcji

Z wykresu i wzoru funkcji odczytujemy, że najmniejszą wartością jest \(0\), a największą \(3\).

3. Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to argumenty, dla których \(f(x)=0\). Funkcja przyjmuje wartość \(0\) dla:

4. Rozwiązania nierówności \(f(x)

Najpierw obliczamy:

Szukamy więc tych argumentów, dla których:

Z wykresu oraz wzoru funkcji otrzymujemy:

Funkcja jest określona trzema wzorami:

1. Dziedzina funkcji

Dziedziną jest suma przedziałów, na których funkcja jest określona:

2. Zbiór wartości funkcji

Dla pierwszego wzoru \(x+5\), gdy \(x\in[-4,-2]\), otrzymujemy wartości od \(1\) do \(3\).

Dla drugiego wzoru funkcja ma wartość stałą \(3\).

Dla trzeciego wzoru \(-3x+9\), gdy \(x\in(2,4)\), wartości są większe od \(-3\) i mniejsze od \(3\).

Zatem zbiór wartości to:

3. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie

Na dwóch pierwszych częściach wykresu funkcja jest dodatnia dla \(x\in[-4,2]\).

Dla trzeciego wzoru rozwiązujemy nierówność:

Uwzględniając przedział \((2,4)\), dostajemy \((2,3)\). Razem:

4. Rozwiązania równania \(f(x)=3\)

Dla pierwszego wzoru:

Dla drugiego wzoru \(f(x)=3\) dla każdego \(x\in(-2,2]\).

Dla trzeciego wzoru:

ale \(x=2\) nie należy do przedziału \((2,4)\). Jest jednak ujęty w drugim przedziale.

Z definicji funkcji odczytujemy przedziały, dla których podano kolejne wzory.

1. Dziedzinę tworzy suma przedziałów: \[ (-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4]=(-4,4]. \] 2. Pierwsza część przyjmuje wartość \(3\). Druga część przyjmuje wartości od \(-1\) do \(3\), a trzecia — od \(-1\) do \(1\). Zatem: \[ W_f=[-1,3]. \] 3. Dla argumentów z przedziału \((1,3)\) wykres funkcji znajduje się pod osią \(OX\), więc funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Można to również sprawdzić z podanych wzorów. Dla drugiej części: \[ -x+1<0 \iff x>1, \] czyli \(x\in(1,2]\). Dla trzeciej części: \[ x-3<0 \iff x<3, \] czyli \(x\in(2,3)\). Łącznie: \[ x\in(1,3). \] 4. Największa wartość funkcji jest równa \(3\) i jest osiągana dla: \[ x\in(-4,-2]. \]

Z tabeli odczytujemy wartości funkcji: \[ -3,\,-4,\,4,\,1,\,5,\,0,\,2. \] Największa wartość funkcji to \[ 5, \] więc w punkcie 9.1 wybieramy odpowiedź D. Miejsce zerowe to argument, dla którego \(f(x)=0\). Z tabeli: \[ f(4)=0, \] więc miejscem zerowym jest \(x=4\). W punkcie 9.2 wybieramy odpowiedź C.

Wykres przecina prostą \(y=2\) dla \(x=0\) oraz \(x=4\). Pomiędzy tymi punktami wykres leży nie wyżej niż prosta \(y=2\), dlatego zbiorem rozwiązań jest \([0,4]\).

Przesunięcie wykresu o \(4\) jednostki w lewo opisuje zależność \[g(x)=f(x+4).\] Przesunięcie poziome nie zmienia zbioru wartości funkcji.

Funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(-1\) oraz \(1\), więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponieważ \(f(-2)=-1\), natomiast \(f(2)=3\), wykres nie jest symetryczny względem osi \(Oy\).

Z wykresu odczytujemy, że funkcja rośnie na odcinku od \(x=5\) do \(x=7\). Dlatego poprawny jest przedział \([5,7]\).

Z wykresu odczytujemy wszystkie argumenty, dla których \[ f(x)>1. \] Na poziomym fragmencie wykresu wartość funkcji jest większa od \(1\) dla \[ x\in[-7,-5]. \] Na opadającym fragmencie wykres znajduje się powyżej prostej \(y=1\) dla \[ x\in[-4,2). \] Na prawym, rosnącym fragmencie otrzymujemy \[ x\in(5,7]. \] Zatem \[ x\in[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]. \]

Wykres funkcji \(g(x)=f(-x)\) otrzymujemy przez odbicie wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\). Po odbiciu poziomy fragment znajduje się po prawej stronie, a pozostałe odcinki po lewej. Taki wykres przedstawiono na rysunku B.

Z wykresu: \[ D_f=(-5,-1)\cup(1,5), \] czyli odpowiedź F, oraz \[ W_f=[-3,-1]\cup[1,3], \] czyli odpowiedź A.

Wykres leży poniżej prostej \(y=-1\) dla \[ x\in(-5,-3). \]

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla wszystkich argumentów od \(-6\) do \(5\), wraz z końcami. Zatem \[ D_f=[-6,5]. \]

Rozpatrujemy wartości funkcji dla \[ x\in[-4,1]. \] Najwyższy punkt wykresu w tym przedziale znajduje się dla argumentów \[ x\in[-4,-3), \] a wartość funkcji jest tam równa \[ 2. \] Największa wartość funkcji w przedziale \([-4,1]\) jest więc równa \(2\).

Na odcinku od \(x=2\) do \(x=5\) wykres opada wraz ze wzrostem argumentu. Funkcja jest tam malejąca.

Najmniejsza wartość funkcji odczytana z wykresu wynosi \(-4\), a największa \(4\). Obie wartości są przyjmowane, dlatego zbiorem wartości jest \[ [-4,4]. \]

Na odcinku wykresu odpowiadającym argumentom z przedziału \((-4,-2)\) funkcja przyjmuje również wartości dodatnie, dlatego pierwsze zdanie jest fałszywe. Wykres przecina oś \(Ox\) trzy razy: dla \(x=-4\), na odcinku między punktami \((-3,-2)\) i \((-1,4)\) oraz dla \(x=0\). Drugie zdanie jest prawdziwe. Zatem poprawna odpowiedź to: \(F,\ P\).

W przedziale \([-4,0]\) najniższy punkt wykresu ma współrzędne \((-3,-2)\). Najmniejsza wartość funkcji wynosi więc \(-2\).