Ciąg arytmetyczny

Korzystamy ze wzorów \(a_7=a_1+6r\), \(a_8=a_1+7r\) oraz ze wzoru na sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Otrzymujemy układ równań:

Pierwsze równanie mnożymy przez \(-3\), a drugie przez \(2\):

Dodajemy równania stronami:

Podstawiamy do pierwszego równania:

Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym:

Każdy kolejny wyraz powstaje przez odjęcie tej samej liczby \(6\).

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.

Ponieważ:

każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest malejący.

Ciąg \((7,a_2,a_3,a_4)\) jest arytmetyczny, więc oznaczmy jego różnicę przez \(r\).

Suma wszystkich wyrazów jest równa \(54\):

Drugi wyraz ciągu:

Ciąg jest arytmetyczny, więc ma stałą różnicę \(r\).

Piąty wyraz ciągu możemy zapisać jako:

Obliczamy dziewiąty wyraz:

Najpierw obliczamy wyraz \(a_5\):

Ciąg:

ma więc postać:

Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy podwojony środkowy wyraz jest równy sumie wyrazów skrajnych:

Rozwiązujemy równanie:

Z definicji ciągu:

wynika, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy:

Obliczamy setny wyraz:

Suma stu początkowych wyrazów:

Ciąg jest arytmetyczny, jego różnica jest równa:

\[ r=-4 \]
Dane jest:

\[ a_{10}=-24 \]
Od wyrazu szóstego do dziesiątego są cztery kroki:

\[ a_{10}=a_6+4r \]
Podstawiamy dane:

\[ -24=a_6+4\cdot(-4) \] \[ -24=a_6-16 \] \[ a_6=-8 \]
Odpowiedź: B. \((-8)\).

Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.

Obliczone wyrazy ciągu to:

Różnice kolejnych wyrazów:

Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Sprawdzamy drugie stwierdzenie.

Iloczyn \(n(n-1)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc zawsze jest liczbą parzystą.

Zatem \(3n(n-1)\) również jest liczbą parzystą.

W ciągu arytmetycznym mamy:

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Dla \(n=25\):

Podstawiamy dane:

Do obliczenia sumy \(25\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego korzystamy ze wzoru:

Podstawiamy \(n=25\), \(a_1=52\), \(a_{25}=2\):

Trzywyrazowy ciąg:

jest arytmetyczny, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, czyli:

Rozwiązujemy równanie:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe metodą delty:

Sprawdzamy warunek, że ciąg ma być malejący.

Dla \(m=-2\):

Ciąg nie jest malejący.

Dla \(m=\frac52\):

Otrzymujemy:

czyli ciąg jest malejący.

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Zatem: \[ 4+2m=\frac{5m+m}{2}. \] Mnożymy obie strony równania przez \(2\): \[ 8+4m=6m, \] \[ 2m=8, \] \[ m=4. \] Odpowiedź: D. \(4\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[ 4=\frac{(2m-5)+9}{2}. \] Zatem \[ 8=2m+4, \] \[ 2m=4, \] \[ m=2. \] Ciąg ma wtedy postać \[ (-1,4,9), \] więc jest rosnący. Wybieramy odpowiedzi A oraz 2.

Różnica ciągu wynosi \[r=13-7=6.\] Zatem \[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. \]

Dla \(n=15\):

\[ -165=\frac{15(a_1+a_{15})}{2}. \]

Wyraz piętnasty ma postać

\[ a_{15}=a_1+14r. \]

Zatem

\[ -165=\frac{15(2a_1+14r)}{2}. \]

Po podzieleniu obu stron przez \(15\):

\[ -11=a_1+7r. \]

Z warunku \(a_3=-1\) mamy

\[ a_3=a_1+2r=-1. \]

Odejmujemy równania:

\[ (a_1+7r)-(a_1+2r)=-11-(-1). \] \[ 5r=-10, \] \[ r=-2. \]

\[r=a_3-a_2=9-4=5,\qquad a_6=a_2+4r=4+20=24.\]

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych:
\[2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2).\]
Po uproszczeniu:
\[2x^2=2x^2+5x+20,\]
\[5x+20=0,\qquad x=-4.\]

\[ 4=\frac{1+(a+5)}2, \] \[ 8=a+6,\qquad a=2. \]

Raty tworzą ciąg arytmetyczny. Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o \(30\) zł, więc osiemnasta rata jest równa \[ a_{18}=a_1+17\cdot(-30). \] Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego: \[ S_{18}=\frac{a_1+a_{18}}{2}\cdot18. \] Podstawiamy: \[ 8910=\frac{a_1+\left(a_1+17\cdot(-30)\right)}{2}\cdot18. \] \[ 8910=\frac{2a_1-510}{2}\cdot18. \] \[ 8910=9(2a_1-510). \] \[ 990=2a_1-510, \] \[ 2a_1=1500, \] \[ a_1=750. \] Pierwsza rata wynosiła \(750\) zł.

Różnica ciągu wynosi \[ r=\frac12-(-3)=\frac72. \] Zatem \[ x=\frac12+\frac72=4, \] \[ y=4+\frac72=\frac{15}{2}. \]