Funkcja wymierna

Rozwiązujemy równanie:

Mnożymy na krzyż:

Liczymy deltę:

Obliczamy rozwiązania:

Szukamy rozwiązania z przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\). Należy do niego tylko:

Rozwiązujemy równanie:

Mnożymy na krzyż:

Mianownik nie jest zerem:

Upraszczamy wyrażenie:

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

Podstawiamy i skracamy:

Mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\): \(3(x-8)=5x(3x-7)\). Otrzymujemy \(3x-24=15x^2-35x\), czyli \(15x^2-38x+24=0\). \(\Delta=4\), więc \(x=\frac{38-2}{30}=\frac65\) albo \(x=\frac{38+2}{30}=\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(\frac43\).

Upraszczamy wyrażenie:

Rozkładamy na czynniki:

Podstawiamy:

Skracamy \(x\) oraz jeden czynnik \(x+2\):

Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność:

\[ \frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1} =\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{3x^2}. \]
Skracamy \(x+1\) oraz jeden czynnik \(x\):

\[ \frac{1}{3x(x-1)} =\frac{1}{3x^2-3x}. \]
Odpowiedź: B. 13x²−3x.

Najpierw zapisujemy konieczne założenie:

\[ x-1\neq0, \qquad 2x-2\neq0, \qquad x\neq1. \]
Mnożymy obie strony równania przez \((x-1)(2x-2)\):

\[ (x+3)(2x-2)=x(x-1). \]
Rozwijamy nawiasy i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

\[ 2x^2+4x-6=x^2-x, \] \[ x^2+5x-6=0. \]
Obliczamy deltę:

\[ \Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49. \] \[ \sqrt{\Delta}=7. \]
Wyznaczamy pierwiastki równania:

\[ x_1=\frac{-5-7}{2}=-6, \qquad x_2=\frac{-5+7}{2}=1. \]
Sprawdzamy otrzymane wyniki z założeniem \(x\neq1\). Liczba \(x_2=1\) nie należy do dziedziny równania, więc ją odrzucamy. Jedynym rozwiązaniem jest:

\[ x=-6. \]
Odpowiedź: \(x=-6\).

Ułamek jest równy zero wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Dziedzina: \[ 2x+4\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -2. \] Licznik: \[ x(x+5)(2-x)=0. \] Stąd \[ x=0,\qquad x=-5,\qquad x=2. \] Żadna z tych liczb nie jest wykluczona z dziedziny, więc równanie ma trzy rozwiązania: \[ -5,\ 0,\ 2. \]

\[\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)x}=\frac{2x}{x-1}.\]

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero:

\[ (x+2)(x-3)\ne0. \] \[ x\ne-2,\qquad x\ne3. \]

Ułamek algebraiczny jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera:

\[ x+1=0. \] \[ x=-1. \]

Liczba \(-1\) należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

\[\frac{x+3}{(x+2)^2}\cdot\frac{x(x+2)}{2(x+3)}=\frac{x}{2(x+2)}=\frac{x}{2x+4}.\]

Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika:
\[\frac1{2x}-x=\frac1{2x}-\frac{2x^2}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}.\]

Dziedzina wyklucza \(x=\pm5\). Licznik jest równy zeru, gdy
\[(x^2-3x)(x^2+1)=0.\]
Ponieważ \(x^2+1>0\), mamy \(x(x-3)=0\), czyli \(x=0\) lub \(x=3\). Obie liczby należą do dziedziny, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Korzystamy z warunku \(f(1)=2\):
\[\frac{1-k}{1+1}=2,\]
\[1-k=4,\qquad k=-3.\]

\[ \frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x} =\frac{x(x+1)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x} =\frac{x+1}{x-2}. \]

Dziedzina: \(x\ne-2\) i \(x\ne2\). Licznik jest równy zeru dla \[ (x^2-3x)(x+2)=0, \] czyli \(x=0\), \(x=3\) lub \(x=-2\). Odrzucamy \(x=-2\), ponieważ nie należy do dziedziny. Zostają dwa rozwiązania.

Dziedzina wyrażenia: \[ x\neq -1,\qquad x\neq 1. \] Równanie ma postać \[ \frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0. \] Dla \(x\neq -1\) i \(x\neq 1\) skracamy wspólne czynniki: \[ \frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2} =\frac{x-1}{x+1}. \] Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru: \[ x-1=0, \] czyli \[ x=1. \] Jednak \(x=1\) nie należy do dziedziny. Równanie nie ma rozwiązania.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: \[ \frac1{x-y}+\frac1{x+y} =\frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} =\frac{2x}{x^2-y^2}. \]

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero: \[ (3x-5)(3-2x)\neq 0. \] Stąd \[ x\neq\frac53 \quad\text{oraz}\quad x\neq\frac32. \] Zatem \[ D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac53,\frac32\right\}. \] Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero: \[ (4-x)(2x-3)=0. \] Otrzymujemy \[ x=4 \quad\text{lub}\quad x=\frac32. \] Liczba \(x=\frac32\) nie należy do dziedziny, więc jedynym rozwiązaniem jest \[ x=4. \] Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Sprowadzamy liczbę \(5\) do mianownika \(x-1\): \[ \frac2{x-1}-5=\frac2{x-1}-\frac{5(x-1)}{x-1} =\frac{2-5x+5}{x-1}=\frac{-5x+7}{x-1}. \]

Najpierw wyznaczamy dziedzinę: \[ x^2-1\ne0,\quad x\ne-1,\quad x\ne1. \] Licznik rozkładamy na czynniki: \[ (x^2+x)(x+3)(x-1)=x(x+1)(x+3)(x-1). \] Po uwzględnieniu dziedziny równanie spełniają tylko \[ x=0\quad\text{oraz}\quad x=-3. \]