Zadania maturalne CKE dotyczące punktów, prostych, odległości i figur w układzie współrzędnych.
Prosta przechodzi przez punkt \(A=(0,-6)\), więc jej równanie to \(y=2x-6\).
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \(S=(-8,-6)\).
Bok \(AB\) leży na prostej:
Bok \(AD\) leży na prostej:
Punkt \(A\) jest punktem przecięcia tych prostych:
Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
Przekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach, więc punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\).
Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:
Punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu.
Obliczamy długość boku:
Obwód kwadratu:
Dane są punkty:
Odcinek \(AC\) leży na osi \(OY\), więc jego długość wynosi:
Odległość punktu \(B\) od prostej \(AC\), czyli od osi \(OY\), wynosi \(2\).
Liczymy pole trójkąta:
Dane są punkty:
Najpierw sprawdzimy, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny. Obliczamy kwadraty długości boków.
Długość odcinka \(AB\):
Długość odcinka \(BC\):
Długość odcinka \(AC\):
Sprawdzamy zależność z twierdzenia Pitagorasa:
Zatem:
Na mocy odwrotnego twierdzenia do twierdzenia Pitagorasa trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, a przeciwprostokątną jest odcinek \(AC\).
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
Obliczamy środek odcinka \(AC\):
Dane są końce przekątnej kwadratu:
Środek okręgu opisanego na kwadracie \(ABCD\) jest środkiem przekątnej \(AC\):
Promień okręgu jest równy połowie długości przekątnej \(AC\).
Po odbiciu kwadratu względem osi \(OY\) środek okręgu \(S=(1,3)\) przechodzi na punkt:
Promień nie zmienia się, więc:
Rysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:
Równanie okręgu:
Prosta \(k\) ma równanie:
Jej współczynnik kierunkowy jest równy \(5\).
Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\), więc ma taki sam współczynnik kierunkowy:
Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), więc jej wyraz wolny jest równy \(-4\).
Równanie prostej \(l\):
Punkt \((p,2)\) należy do tej prostej, więc podstawiamy \(x=p\) oraz \(y=2\):
Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, czyli środkiem przekątnej.
Dane są:
Obliczamy długość odcinka \(AS\):
Odcinek \(AS\) jest połową przekątnej kwadratu, więc przekątna ma długość:
Dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\).
Środek odcinka \(AB\):
\[ S=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5). \]Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\):
\[ a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34. \]Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc ma współczynnik \(\frac43\) i przechodzi przez \(S=(6,5)\):
\[ y-5=\frac43(x-6). \]Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), więc \(y=0\):
\[ -5=\frac43(x-6). \] \[ -15=4x-24. \] \[ 4x=9. \] \[ x=\frac94. \] \[ P=\left(\frac94,0\right). \]Teraz obliczamy długość \(AP\):
\[ |AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}. \] \[ |AP|=\sqrt{\left(\frac14\right)^2+64} =\sqrt{\frac{1025}{16}} =\frac{\sqrt{1025}}4 =\frac{5\sqrt{41}}4. \]
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc punkt \(P=(6,7)\) jest środkiem odcinka \(AC\).
Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
\[ P=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right). \]Dla \(A=(-2,6)\) otrzymujemy:
\[ \left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7). \]Porównujemy współrzędne:
\[ \frac{-2+x_C}{2}=6 \Rightarrow -2+x_C=12 \Rightarrow x_C=14, \] \[ \frac{6+y_C}{2}=7 \Rightarrow 6+y_C=14 \Rightarrow y_C=8. \]Zatem \(C=(14,8)\). Obliczamy długość boku \(BC\), gdzie \(B=(10,2)\):
\[ |BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} =\sqrt{4^2+6^2} =\sqrt{52} =2\sqrt{13}. \]
