Kombinatoryka

Szukamy liczb czterocyfrowych parzystych, w których cyfra tysięcy i cyfra jedności są równe.

Liczba jest parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Ponieważ cyfra tysięcy jest taka sama, nie może być zerem.

Mamy więc \(4\) możliwości na te dwie cyfry.

Cyfra setek ma \(10\) możliwości, a cyfra dziesiątek ma \(10\) możliwości.

Tworzymy liczby trzycyfrowe nieparzyste z cyfr:

Cyfra setek nie może być zerem, więc mamy \(6\) możliwości:

Cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych \(7\) cyfr.

Cyfra jedności musi być nieparzysta, więc mamy \(3\) możliwości:

Liczba takich liczb wynosi:

Kolorujemy kolejne obszary drwala.

Pierwszy obszar możemy pokolorować na \(7\) sposobów.

Każdy kolejny obszar graniczy z poprzednim już pokolorowanym obszarem, więc dla każdego z nich mamy \(6\) możliwości wyboru koloru.

Liczba wszystkich sposobów pokolorowania:

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których występują tylko cyfry nieparzyste.

Możliwe cyfry nieparzyste to: \[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \]
Cyfra setek musi być nieparzysta i liczba ma być większa od \(500\), więc cyfra setek może być: \[ 5,\ 7,\ 9 \] czyli są \(3\) możliwości.
Cyfra dziesiątek: \(5\) możliwości.
Cyfra jedności: \(5\) możliwości.

Liczba takich liczb: \[ 3\cdot5\cdot5=75 \] Odpowiedź: C. \(75\).

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych parzystych, w których dokładnie jeden raz występuje cyfra \(0\).

Przypadek 1: cyfra jedności to \(0\)

Liczba ma postać:

Cyfra setek \(a\) może być jedną z cyfr \(1,2,\ldots,9\), czyli \(9\) możliwości.

Cyfra dziesiątek \(b\) też nie może być zerem, więc ma \(9\) możliwości.

Przypadek 2: cyfra dziesiątek to \(0\)

Liczba ma postać:

Cyfra setek \(a\) ma \(9\) możliwości.

Cyfra jedności \(c\) musi być parzysta i różna od \(0\), więc:

czyli \(4\) możliwości.

Łącznie:

Szukamy liczb trzycyfrowych nieparzystych, w których dokładnie jeden raz występuje cyfra \(0\).

Liczba ma postać:

Ponieważ liczba jest nieparzysta, cyfra jedności \(c\) musi być jedną z cyfr:

czyli mamy \(5\) możliwości.

Cyfra \(0\) nie może być na miejscu setek, bo liczba nie byłaby trzycyfrowa. Nie może też być na miejscu jedności, bo liczba nie byłaby nieparzysta.

Zatem cyfra \(0\) musi być cyfrą dziesiątek:

Cyfra setek \(a\) może być jedną z cyfr \(1,2,\ldots,9\), czyli mamy \(9\) możliwości.

Liczba takich liczb:

Pierwszą cyfrę można wybrać na \(3\) sposoby: \(1\), \(2\) lub \(3\), ponieważ liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera.

Każdą z trzech środkowych cyfr można wybrać na \(4\) sposoby. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta, więc można wybrać \(1\) albo \(3\), czyli mamy \(2\) możliwości.

Liczba takich liczb wynosi:

\[ 3\cdot4^3\cdot2=384. \]
Odpowiedź: B. \(384\).

Niech cyfrą jedności będzie \(a\). Cyfra dziesiątek ma wtedy wartość \[ a+3. \] Aby była cyfrą, musi zachodzić: \[ a+3\le 9, \] czyli \[ a\le 6. \] Cyfra jedności może więc być równa: \[ 0,1,2,3,4,5,6. \] Otrzymujemy \(7\) liczb: \[ 30,41,52,63,74,85,96. \]

Na każdej z pierwszych trzech pozycji można wybrać jedną z \(3\) cyfr, a na ostatniej jedną z dwóch cyfr parzystych. \[3^3\cdot2=54.\]

Każdy kod jest permutacją czterech różnych cyfr. Liczba takich kodów wynosi: \[ 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. \]

Możliwe pierwsze trójki cyfr to \((6,3,0),(7,4,1),(8,5,2),(9,6,3)\), czyli \(4\) możliwości. Pozostałe trzy miejsca obsadzamy różnymi cyframi na \[7\cdot6\cdot5=210\] sposobów. Łącznie \[4\cdot210=840.\]

Pierwszą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów (nie może być zerem). Drugą, różną od pierwszej, na \(9\) sposobów, trzecią na \(8\), a czwartą na \(7\). Zatem liczba takich liczb wynosi
\[9\cdot9\cdot8\cdot7.\]

Liczby spełniające warunek to: \[ 111,\ 102,\ 120,\ 201,\ 210,\ 300. \] Jest ich \(6\).

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy \(2\) możliwości: \(5\) lub \(7\). Na każdej z pozostałych czterech pozycji można wybrać jedną z \(3\) cyfr. Liczba takich liczb wynosi \[ 2\cdot3^4. \]

Pierwszą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów (od 1 do 9). Drugą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów, ponieważ może nią być również zero, ale nie może powtórzyć się pierwsza cyfra. Kolejne cyfry wybieramy odpowiednio na \(8\) i \(7\) sposobów. Zatem \[ 9\cdot9\cdot8\cdot7. \]

Liczba podzielna przez \(25\) i nieparzysta musi kończyć się cyframi \(25\) albo \(75\), więc zakończenie wybieramy na \(2\) sposoby. Pierwszą cyfrę wybieramy na \(9\) sposobów, a drugą na \(10\) sposobów. Łącznie: \[ 9\cdot10\cdot2. \]