Liczby rzeczywiste

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw obliczamy pierwiastki występujące w liczniku.

Pierwiastek sześcienny z liczby \(-64\) to taka liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje \(-64\):

Podobnie:

Teraz obliczamy mianownik:

Podstawiamy otrzymane wartości do wyrażenia:

Wykonujemy działania w liczniku:

Otrzymujemy:

Obliczamy wartość wyrażenia:

W odpowiedziach występują potęgi liczby \(9\), ale najwygodniej najpierw sprowadzić wszystko do potęg liczby \(3\).

Korzystamy z faktu:

Zatem:

Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):

Podstawiamy do wyrażenia:

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

Odejmowanie liczby ujemnej oznacza dodawanie:

Wracamy do potęgi liczby \(9\). Ponieważ \(9=3^2\), to:

Zatem:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw korzystamy z własności pierwiastków:

Zatem:

Mnożymy pod pierwiastkiem:

Otrzymujemy:

Teraz obliczamy drugi składnik. Korzystamy z własności potęg:

Całe wyrażenie ma więc wartość:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Zapisujemy pierwiastek \(\sqrt5\) jako potęgę:

Podstawiamy do wyrażenia:

Liczbę \(5\) zapisujemy jako \(5^1\):

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

Otrzymujemy:

Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku \(\frac12\), więc:

Mnożymy wykładniki:

Dana liczba ma postać:

Zamieniamy \(4\) na potęgę liczby \(2\):

Zatem:

Liczba \(10^{24}\) jest podzielna przez \(20\).

Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera, więc ma \(25\) cyfr.

Obliczamy wartość wyrażenia:

Korzystamy z własności pierwiastków sześciennych:

Łączymy pierwiastki w liczniku:

Obliczamy iloczyn pod pierwiastkiem:

Łączymy pierwiastki w mianowniku:

Wyrażenie ma więc postać:

Korzystamy z własności:

Otrzymujemy:

Dzielimy:

Zatem:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg liczby \(3\):

Zatem:

oraz:

Podstawiamy do wyrażenia:

W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki:

Otrzymujemy:

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Sprowadzamy liczby \(25\) i \(125\) do potęg liczby \(5\):

Zatem:

Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):

Analogicznie:

Podstawiamy do wyrażenia:

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

Upraszczamy wykładnik:

Zatem:

Obliczamy sumę:

W każdym pierwiastku szukamy czynnika, który jest sześcianem liczby naturalnej.

Dla liczby \(24\):

Ponieważ \(8=2^3\), to:

Wyłączamy czynnik przed pierwiastek:

Dla liczby \(192\):

Ponieważ \(64=4^3\), to:

Wyłączamy czynnik przed pierwiastek:

Teraz dodajemy wyrażenia podobne:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Sprowadzamy liczby do potęg liczby \(2\):

Najpierw upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:

Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):

Zatem:

Pierwiastek sześcienny to potęga o wykładniku \(\frac13\):

Teraz podstawiamy do całego wyrażenia:

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

Obliczamy wartość wyrażenia:

W liczniku wszystkie składniki mają wspólny czynnik \(5^{12}\).

Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias:

Dlaczego tak można zrobić?

Podstawiamy do ułamka:

Skracamy \(5^{12}\):

Obliczamy:

Zapisujemy pierwiastek i ułamek jako potęgi liczby \(5\):

\[ \left(\sqrt[5]{5}\cdot\frac15\right)^{-5} =\left(5^{\frac15}\cdot 5^{-1}\right)^{-5} \] \[ =\left(5^{-\frac45}\right)^{-5} =5^4. \]
Odpowiedź: A. \\(5^4\\).

Korzystamy z własności potęgi o wykładniku ujemnym: \[ \left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5} =\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac12} =\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{25}}} =\frac{1}{\frac25} =\frac52=2,5. \]

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac35}=\frac12\cdot(2^5)^{\frac35}=\frac12\cdot2^3=4.\]

\[ \left(\frac1{16}\right)^8\cdot 8^{16} =(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16} =2^{-32}\cdot2^{48} =2^{16}. \]

Zapisujemy liczby jako potęgi liczby \(3\):

Ponieważ \(-2{,}4=-\frac{12}{5}\), otrzymujemy:

Następnie:

\[ 3\sqrt{45}-\sqrt{20} =3\sqrt{9\cdot5}-\sqrt{4\cdot5} =3\cdot3\sqrt5-2\sqrt5 =9\sqrt5-2\sqrt5 =7\sqrt5. \] Ponieważ \[ \sqrt5=5^{\frac12}, \] to wynik ma postać \[ 7\cdot5^{\frac12}. \] Poprawna jest odpowiedź D.

\[\frac{3^{-1}}{\left(-\frac13\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac13}{9}\cdot81=\frac1{27}\cdot81=3.\]

\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2} =\sqrt[3]{-\frac{54}{16}} =\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} =-\frac32. \]

Korzystamy z własności potęg: \[ \left(5\cdot 5^{\frac12}\right)^{\frac13} =\left(5^{\frac32}\right)^{\frac13} =5^{\frac12}=\sqrt5. \]

Najpierw obliczamy wyrażenie w nawiasie: \[ 1+3\cdot2^{-1}=1+3\cdot\frac12=\frac52. \] Następnie korzystamy z własności potęgi o wykładniku ujemnym: \[ \left(\frac52\right)^{-2}=\left(\frac25\right)^2=\frac4{25}. \] Uwaga: na obrazie odpowiedź A ma wartość \(\frac{25}{4}\), ale z podanego wyrażenia wynika \(\frac4{25}\).