Optymalizacja

Z warunku wynika \(2r+h=10\), czyli \(h=10-2r\).

Promień i wysokość walca muszą być dodatnie. Mamy więc

Wyznaczamy ograniczenie dla promienia:

Łącząc warunki \(r>0\) i \(r<5\), otrzymujemy dziedzinę:

Funkcja jest parabolą skierowaną ramionami w dół.

Kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(4\), więc jego pole wynosi:

Trójkąt \(DEF\) otrzymujemy z kwadratu po odjęciu trzech trójkątów prostokątnych położonych przy bokach kwadratu.

Z treści zadania:

Dlatego:

Obliczamy pola trzech trójkątów, które odejmujemy od pola kwadratu.

1. Trójkąt \(ADE\)

2. Trójkąt \(EBF\)

3. Trójkąt \(DCF\)

Pole trójkąta \(DEF\) jest równe polu kwadratu pomniejszonemu o pola tych trzech trójkątów:

Upraszczamy:

Zatem:

Jest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane do góry, więc najmniejsze pole otrzymamy dla argumentu będącego współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli.

Dla funkcji:

mamy:

Obliczamy:

Ponieważ \(1\in(0,2)\), to dla \(x=1\) pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze.

Wysokość piłeczki opisuje funkcja kwadratowa:

Największa wysokość jest osiągana w wierzchołku paraboli.

Dla funkcji \(at^2+bt+c\) współrzędna \(t\) wierzchołka jest równa:

W naszym przypadku:

Dana jest funkcja: \[ P(x)=(80-x)(120+5x) \] Mnożymy nawiasy: \[ P(x)=9600+400x-120x-5x^2 \] \[ P(x)=-5x^2+280x+9600 \] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku.

Obliczamy argument wierzchołka: \[ x_w=\frac{-b}{2a} \] \[ a=-5,\qquad b=280 \] \[ x_w=\frac{-280}{2\cdot(-5)}=\frac{-280}{-10}=28 \]
Oznacza to, że cenę należy podnieść o: \[ 5x=5\cdot28=140 \] zł.
Cena wynajęcia pokoju: \[ 120+140=260 \]
Odpowiedź: 260 zł.

Zysk jest opisany wzorem:

Rozwijamy iloczyn:

Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół, więc największa wartość występuje w wierzchołku.

Współrzędna \(x\) wierzchołka:

Dla \(a=-50\), \(b=300\):

Liczba \(3\) spełnia warunki \(x\ge1\) oraz \(x\le14\).

W prostopadłościanie trzy krawędzie wychodzące z wierzchołka \(B\) mają długości:

Suma długości tych krawędzi jest równa \(15\), więc:

Dziedzina

Długości krawędzi muszą być dodatnie:

Zatem:

Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej

Wymiary prostopadłościanu to:

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

Podstawiamy:

Największe pole

Funkcja \(P(x)\) jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku paraboli.

Dla:

otrzymujemy:

Oznaczmy długość krawędzi \(AD\) przez \(y\). Mamy:

\[ |AB|=x,\qquad |AE|=3x,\qquad |AD|=y. \]
Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa:

\[ 4(x+3x+y)=48. \]
Stąd:

\[ 4x+y=12, \] \[ y=12-4x. \]
Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc:

\[ x>0 \quad\text{oraz}\quad 12-4x>0. \]
Dziedziną funkcji jest zatem:

\[ D_P=(0,3). \]
Pole powierzchni całkowitej wynosi:

\[ P(x)=2\bigl(x\cdot3x+x\cdot y+3x\cdot y\bigr). \]
Podstawiamy \(y=12-4x\):

\[ P(x)=2\bigl(3x^2+4x(12-4x)\bigr), \] \[ P(x)=-26x^2+96x. \]
Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największą wartość przyjmuje dla argumentu równego współrzędnej \(x\) wierzchołka:

\[ x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{96}{2\cdot(-26)}=\frac{24}{13}. \]
Liczba \(\frac{24}{13}\) należy do przedziału \((0,3)\), więc dla tej długości krawędzi \(AB\) pole powierzchni całkowitej jest największe.

Odpowiedź: \[ P(x)=-26x^2+96x,\qquad D_P=(0,3),\qquad x=\frac{24}{13}. \]

Z warunku \[ x+y=12 \] otrzymujemy \[ y=12-x. \] Rozważane wyrażenie zapisujemy jako funkcję zmiennej \(x\): \[ f(x)=2x^2+(12-x)^2. \] Po wykonaniu działań: \[ f(x)=2x^2+x^2-24x+144, \] czyli \[ f(x)=3x^2-24x+144. \] Jest to funkcja kwadratowa o współczynnikach: \[ a=3,\qquad b=-24. \] Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa: \[ p=-\frac{b}{2a} =-\frac{-24}{2\cdot3} =\frac{24}{6} =4. \] Zatem najmniejsza wartość występuje dla \[ x=4. \] Wtedy \[ y=12-4=8. \] Obliczamy wartość wyrażenia: \[ 2x^2+y^2 =2\cdot4^2+8^2 =32+64 =96. \] Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi więc \[ 96. \]

Funkcja przychodu:

\[ P(x)=(70-x)(20+x)=-x^2+50x+1400. \]

Wierzchołek paraboli:

\[ x_w=-\frac{50}{2(-1)}=25. \]

Dlatego w 32.1 wybieramy A. 25.

W 32.2 rozwiązujemy równanie:

\[ (70-x)(20+x)=800. \] \[ 1400+50x-x^2=800. \] \[ x^2-50x-600=0. \] \[ \Delta=(-50)^2-4\cdot1\cdot(-600)=4900. \] \[ \sqrt\Delta=70. \] \[ x_1=\frac{50-70}{2}=-10,\qquad x_2=\frac{50+70}{2}=60. \]

Z warunków zadania \(x\ge0\), więc odrzucamy \(-10\). Pozostaje

\[ x=60. \]

Wybieramy E. 60.

Z rysunku wynika, że na ogrodzenie zużyto: \[ 4x+6y=36. \] Stąd: \[ y=6-\frac23x. \] Suma pól trzech wybiegów: \[ P=3xy. \] Po podstawieniu: \[ P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)=18x-2x^2. \] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna \(x\) wierzchołka: \[ x_w=-\frac{18}{2\cdot(-2)}=\frac{18}{4}=4{,}5. \] \[ y=6-\frac23\cdot4{,}5=6-3=3. \] Największe pole otrzymamy dla: \[ x=4{,}5\text{ m},\qquad y=3\text{ m}. \]

Niech \(x\) oznacza krótszą podstawę. Wysokość wynosi \(18-x\), więc \[P(x)=\frac{12+x}{2}(18-x)=-\frac12x^2+3x+108.\] Funkcja osiąga maksimum dla \[x=-\frac{3}{2(-\frac12)}=3.\] Wtedy \[P_{\max}=\frac{12+3}{2}\cdot15=112{,}5\ \mathrm{dm}^2.\]

Przychód wynosi \(P(x)=196x\), a koszt \(K(x)=4x^2+4x+240\). Zysk:
\[Z(x)=P(x)-K(x)=-4x^2+192x-240.\]
Jest to parabola skierowana ramionami w dół. Współrzędna wierzchołka:
\[x_w=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=24.\]
Zakład powinien wyprodukować \(24\) krzesła. Największy zysk:
\[Z(24)=-4\cdot24^2+192\cdot24-240=2064\text{ zł}.\]

Oznaczmy: \[ a=|EF| \] — długość prostokąta oraz \[ b \] — jego wysokość. Pole całego trapezu \(ABCD\) wynosi \[ P_{ABCD}=\frac{400+100}{2}\cdot75 =250\cdot75 =18750. \] Zgodnie ze wskazówką: \[ P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}. \] Dolny trapez \(ABFE\) ma podstawy \(400\) i \(a\) oraz wysokość \(b\): \[ P_{ABFE}=\frac{400+a}{2}\cdot b. \] Górny trapez \(EFCD\) ma podstawy \(a\) i \(100\) oraz wysokość \(75-b\): \[ P_{EFCD}=\frac{a+100}{2}\cdot(75-b). \] Układamy równanie: \[ \frac{400+a}{2}b+\frac{a+100}{2}(75-b)=18750. \] Mnożymy obie strony przez \(2\): \[ (400+a)b+(a+100)(75-b)=37500. \] Rozwijamy nawiasy: \[ 400b+ab+75a+7500-ab-100b=37500. \] \[ 300b+75a=30000. \] Dzielimy przez \(75\): \[ 4b+a=400. \] Stąd \[ b=100-\frac14a. \] Pole prostokąta: \[ P(a)=a\cdot b =a\left(100-\frac14a\right) =-\frac14a^2+100a. \] Jest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane w dół. Największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[ a=-\frac{100}{2\cdot\left(-\frac14\right)}=200. \] Wtedy \[ b=100-\frac14\cdot200=50. \] Największe pole: \[ P_{\max}=200\cdot50=10000\text{ m}^2. \] Prostokąt powinien mieć boki długości \[ 200\text{ m}\quad\text{i}\quad50\text{ m}, \] a jego największe pole wynosi \[ 10000\text{ m}^2. \]

Funkcja \[ L(n)=-n^2+22n+279 \] jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka: \[ n=-\frac{22}{2\cdot(-1)}=11. \] \[ L(11)=-121+242+279=400. \] Największą liczbę klientów, równą \(400\), obsłużono 11. dnia.

Długość liny daje zależność \[ 2a+b=200, \] czyli \[ b=200-2a. \] Pole kąpieliska jest równe \[ P(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a. \] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi \[ a=\frac{-200}{2\cdot(-2)}=50. \] Wtedy \[ b=200-2\cdot50=100. \] Największe pole ma prostokąt o wymiarach \(50\text{ m}\times100\text{ m}\).

Zysk jest różnicą przychodu i kosztu: \[ Z(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170). \] Po uporządkowaniu: \[ Z(x)=-x^2+230x-170. \] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi \[ x_w=\frac{-230}{2\cdot(-1)}=115. \] Liczba \(115\) mieści się w przedziale \(0\le x\le150\). Obliczamy największy zysk: \[ Z(115)=-(115)^2+230\cdot115-170=13\,055. \] Zatem należy sprzedać \(115\) wiatraków, a największy tygodniowy zysk wynosi \(13\,055\) zł.