Statystyka

W szeregu 120 wyników mediana jest średnią 60. i 61. wartości. Wartość 60. wynosi 7, a 61. wynosi 8.

Najczęściej występuje 8 godzin (38 osób), więc dominanta wynosi 8.

Niech w drugiej szkole będzie \(x\) uczniów. W pierwszej szkole jest trzy razy więcej uczniów, czyli \(3x\).

Średnia wieku wszystkich uczniów obu szkół:

Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów dla poszczególnych ocen:

Liczba wszystkich uczniów:

Przy \(26\) wynikach mediana jest średnią z \(13\). i \(14\). wyniku po uporządkowaniu.

Sprawdzamy miejsca ocen:

Trzynasty i czternasty wynik to oceny \(4\), więc mediana wynosi \(4\).

Z diagramu dla klasy IV A odczytujemy liczby uczniów:

Średnia w klasie IV A:

Z diagramu dla klasy IV B odczytujemy:

Średnia w klasie IV B:

W obu klasach jest po \(20\) uczniów, więc mediana jest średnią z 10. i 11. wyniku.

W klasie IV A 10. wynik to \(3\), a 11. wynik to \(4\).

W klasie IV B 10. wynik to \(3\), a 11. wynik to \(4\).

Średnia trzech liczb \(a,b,c\) jest równa \(2\), więc suma tych liczb wynosi:

Średnia czterech liczb \(d,e,f,g\) jest równa \(5{,}5\), więc:

Suma wszystkich siedmiu liczb:

Średnia siedmiu liczb:

Wagi ocen są następujące:

Karolina otrzymała:

Obliczamy sumę ważoną:

Obliczamy sumę wag:

Średnia ważona:

Rozegrano \(50\) meczów.

Z diagramu odczytujemy:

Porządkujemy wyniki rosnąco.

Pierwsze \(4\) wyniki to zera, a kolejne \(21\) wyników to jedynki. Zatem wyniki od 5. do 25. są równe \(1\).

Kolejne wyniki są równe \(2\), więc 26. wynik jest równy \(2\).

Dla \(50\) wyników mediana jest średnią z 25. i 26. wyniku:

Z diagramu odczytujemy: \[ 1\ \text{usterka}:16\ \text{samochodów} \] \[ 2\ \text{usterki}:10\ \text{samochodów} \] \[ 3\ \text{usterki}:6\ \text{samochodów} \] \[ 4\ \text{usterki}:2\ \text{samochody} \] \[ 5\ \text{usterek}:2\ \text{samochody} \]
Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najczęściej występuje \(1\) usterka, więc dominanta wynosi: \[ 1 \]
Liczba wszystkich samochodów: \[ 16+10+6+2+2=36 \] Suma wszystkich usterek: \[ 1\cdot16+2\cdot10+3\cdot6+4\cdot2+5\cdot2=72 \] Średnia: \[ \frac{72}{36}=2 \]
Co najmniej dwie usterki miało: \[ 10+6+2+2=20 \] samochodów. Dokładnie jedną usterkę miało \(16\) samochodów.
Procent: \[ \frac{20}{16}\cdot100\%=125\% \]

Średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) jest równa \(12\), więc:

Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb:

Ich suma jest równa:

Średnia sześciu liczb:

Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną.

Suma punktów zdobytych przez wszystkich uczniów:

Liczba uczniów:

Średnia arytmetyczna:

Wynik niższy od średniej, czyli niższy od \(3\), uzyskali uczniowie, którzy otrzymali \(0\), \(1\) albo \(2\) punkty:

Teraz wyznaczamy medianę. Jest \(32\) wyników, więc mediana jest średnią arytmetyczną 16. i 17. wyniku po uporządkowaniu.

Rozkład wyników:

Do wyniku \(2\) włącznie mamy:

Wyniki równe \(3\) zajmują miejsca od 12. do 16., więc 16. wynik to \(3\).

Wyniki równe \(4\) zaczynają się od miejsca 17., więc 17. wynik to \(4\).

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej uczniów, bo \(11\), otrzymało \(4\) punkty.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

jest równa \(3\), więc suma tych siedmiu liczb jest równa:

Suma znanych pięciu liczb:

Zatem:

Z diagramu odczytujemy liczby uczniów dla poszczególnych ocen:

Razem jest:

Mediana

Jest \(24\) uczniów, więc mediana jest średnią 12. i 13. wyniku po uporządkowaniu.

Ustalamy miejsca:

Zatem 12. wynik to \(4\), a 13. wynik to \(5\).

Dominanta

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej uczniów, bo \(7\), uzyskało ocenę \(6\).

Średnią arytmetyczną obliczamy jako średnią ważoną:

\[ \overline{x}=\frac{4\cdot5+5\cdot8+6\cdot12+7\cdot13+8\cdot12}{50} =\frac{319}{50}=6{,}38. \]
Aby wyznaczyć medianę, rozpatrujemy \(25.\) i \(26.\) wartość w uporządkowanym zestawie \(50\) wyników.

Do liczby \(6\) włącznie znajduje się:

\[ 5+8+12=25 \]
wyników. Zatem \(25.\) wartością jest \(6\), a \(26.\) wartością jest \(7\). Mediana wynosi:

\[ \frac{6+7}{2}=6{,}5. \]
Odpowiedź: średnia \(6{,}38\), mediana \(6{,}5\).

Obliczamy sumę wszystkich zdobytych punktów: \[ 0\cdot2+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot11+5\cdot6. \] Zatem \[ 0+2+10+18+44+30=104. \] Liczba uczniów wynosi \(32\), więc średnia jest równa: \[ \frac{104}{32}=3{,}25. \]

Liczba uczniów: \[2+9+5+3+5+1=25.\] Suma ocen: \[1\cdot2+2\cdot9+3\cdot5+4\cdot3+5\cdot5+6\cdot1=78.\] Średnia wynosi \[\frac{78}{25}=3{,}12.\]

Skoro \[ \frac{a+b+c}{3}=9, \] to \[ a+b+c=27. \] Średnia sześciu liczb wynosi: \[ \frac{2a+2b+2c}{6} =\frac{2(a+b+c)}6 =\frac{54}{6}=9. \]

Liczba uczniów: \[ 2+7+4+3+6+4=26. \] Mediana jest średnią 13. i 14. wartości w szeregu uporządkowanym. Do oceny \(3\) włącznie mamy: \[ 2+7+4=13 \] wyników, więc 13. wartość to \(3\), a 14. wartość to \(4\). \[ Me=\frac{3+4}{2}=3{,}5. \]

Normę spełniają jabłka o masach \[19\ \text{dag},\quad 20\ \text{dag},\quad 21\ \text{dag}.\] Z wykresu odczytujemy odpowiednie liczebności: \[11,\quad 14,\quad 11.\] Liczba jabłek spełniających normę wynosi więc \[11+14+11=36.\] Wszystkich jabłek jest \(50\), zatem \[P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}.\]

Dominanta to wartość występująca w badanym zbiorze najczęściej. Najwyższy słupek na wykresie odpowiada masie \[20\ \text{dag}.\] Oznacza to, że masa \(20\) dag występuje najczęściej. Poprawne są więc odpowiedź A oraz uzasadnienie 3.

Obliczamy średnią ważoną: \[ \frac{4800\cdot10+5100\cdot36+5500\cdot5+5900\cdot25+6400\cdot18+7500\cdot4+8600\cdot2}{100}. \] Suma wynagrodzeń wynosi \[ 569000\text{ zł}, \] więc \[ \frac{569000}{100}=5690\text{ zł}. \] Poprawna jest odpowiedź A.

Ceny uporządkowane występują odpowiednio \(2,4,2,5,3\) razy. Jest \(16\) obserwacji. Ósma wartość to \(5{,}70\), a dziewiąta to \(6{,}00\), więc \[ Me=\frac{5{,}70+6{,}00}{2}=5{,}85. \] Średnia: \[ \frac{2\cdot5{,}05+4\cdot5{,}60+2\cdot5{,}70+5\cdot6{,}00+3\cdot6{,}30}{16} =5{,}80. \]

Średnia liczba wykiełkowanych nasion wynosi \[ \overline{x}=\frac{133+140+119+147+161}{5}=\frac{700}{5}=140. \] Przedział wyznaczony przez jedno odchylenie standardowe od średniej to \[ [140-14,\,140+14]=[126,154]. \] W tym przedziale mieszczą się wyniki: \[ 133,\quad140,\quad147. \] Są to donice I, II i IV.

Średnia ważona wynosi \[ \frac{75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000}{160}. \] Po obliczeniu: \[ \frac{735000}{160}=4593{,}75\text{ zł}. \]

Pracowników jest \(160\), więc mediana jest średnią 80. i 81. wartości po uporządkowaniu. Pierwszych \(75\) osób zarabia \(4000\) zł, a osoby od 76. do 125. zarabiają \(4800\) zł. Zarówno 80., jak i 81. wartość wynosi zatem \(4800\) zł.

Płacę nieprzekraczającą \(5000\) zł otrzymuje \[ 75+50+20=145 \] osób. Stanowi to \[ \frac{145}{160}\cdot100\%=90{,}625\%. \] Po zaokrągleniu do \(1\%\) otrzymujemy \(91\%\).