Układy równań

Z treści zadania układamy układ równań:

Pierwsze równanie mnożymy przez \(-3\), a drugie przez \(8\):

Dodajemy równania stronami.

Otrzymaną cenę batona podstawiamy do pierwszego równania:

Łącznie wszystkich drzew jest \(198\), więc:

Gdyby drzew iglastych było o \(18\) więcej, to byłoby ich \(x+18\).

Wtedy drzew liściastych byłoby \(3\) razy więcej niż drzew iglastych:

Zatem układ równań to:

Oznaczmy:

Sprzedano łącznie \(200\) biletów, więc:

Po opłaceniu kosztów organizatorom zostało \(75\%\) wpływów ze sprzedaży biletów.

Wpływy ze sprzedaży biletów wyniosły więc \(6220\) zł.

Podstawiamy \(x=200-y\):

Rozwiązujemy układ równań:

Dzielimy pierwsze równanie przez \(20\), a drugie przez \(26\):

Z pierwszego równania od razu mamy:

Obliczamy wartości \(x_0\) i \(y_0\):

Obie liczby są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

Niech \(x\) oznacza liczbę kilogramów pomidorów malinowych, a \(y\) cherry. Mamy \(x+y=75\) oraz \(11x+7{,}98y=752{,}52\). Po podstawieniu \(y=75-x\): \(11x+7{,}98(75-x)=752{,}52\). Stąd \(3{,}02x=154{,}02\), więc \(x=51\).

Niech \(x\) oznacza liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) — liczbę drzew posadzonych w drugim sadzie.

Po roku w pierwszym sadzie zostało \(80\%\) drzew, czyli:

W drugim sadzie zostało \(85\%\) drzew, czyli:

Z treści zadania wiemy, że liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła \(70\%\) liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie:

Zamieniamy liczby dziesiętne na ułamki:

Podstawiamy do równania \(x+y=1410\):

Niech \(x\) oznacza kwotę przyznaną zespołowi A.

Wtedy zespół B otrzymał:

Zespół A wykorzystał \(13\%\) swojej kwoty, a zespół B \(11\%\) swojej kwoty. Łącznie wykorzystano \(146700\) zł, więc:

Rozwiązujemy równanie:

Podstawiamy \(x=-1\) i \(y=6\) do pierwszego równania:

\[ a\cdot(-1)+3\cdot6=20 \] \[ -a+18=20, \qquad a=-2. \]
Z drugiego równania:

\[ -1+6b=5 \] \[ 6b=6, \qquad b=1. \]
Zatem

\[ a\cdot b=(-2)\cdot1=-2. \]
Odpowiedź: A. (−2).

Pierwsza prosta jest malejąca i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), więc ma równanie \[ y=-x+2. \] Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy \(2\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), więc ma równanie \[ y=2x-3. \] Jest to układ z odpowiedzi B.

Drugie równanie jest pierwszym równaniem pomnożonym przez \(-4\). Oba równania opisują tę samą prostą, dlatego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Po roku w pierwszym sadzie pozostało \(0{,}95x\) drzew, a w drugim \(0{,}9y\) drzew. Łącznie początkowo posadzono: \[ x+y=1960. \] Liczba drzew w drugim sadzie stanowiła \(60\%\) liczby drzew w pierwszym: \[ 0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x. \] Jest to układ z odpowiedzi A.

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Na rysunku obie proste są malejące, a ich współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac32\). Warunek ten spełnia układ z odpowiedzi A.

Z pierwszego równania \(x=3y-5\). Po podstawieniu: \[2(3y-5)+y+3=0,\quad 7y-7=0,\quad y=1.\] Stąd \(x=-2\).

Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\). W układzie D:
\[-8-6=-14,\]
\[-2\cdot(-8)+6=16+6=22.\]
Punkt spełnia oba równania, więc poprawna jest odpowiedź D.

W równaniu prostej \[ y=ax+b \] współczynnik \(a\) decyduje o kierunku nachylenia prostej: - gdy \(a>0\), prosta jest rosnąca, - gdy \(a<0\), prosta jest malejąca. Na rysunku jedna prosta jest malejąca, ma współczynnik kierunkowy \(-1\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \(2\): \[ y=-x+2. \] Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy \(2\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \(-1\): \[ y=2x-1. \] Poprawna jest odpowiedź D.

Obwód prostokąta jest równy \(30\), więc \[ 2(a+b)=30, \] czyli równoważnie \[ 2a+2b=30. \] Ponieważ \(a>b\), krótszy bok spełnia \[ b=a-5, \] równoważnie \[ a-b=5. \] Warunki zapisano w układach C oraz E.

Łączny koszt zakupu daje równanie \[ 50x+40y=8000. \] Cena detaliczna spodni wynosi \(1{,}5x\), a marynarki \(1{,}2y\). Ceny są równe, więc \[ 1{,}5x=1{,}2y. \] Otrzymujemy układ z odpowiedzi C.

Prosta \(y=x-1\) jest rosnąca i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-1)\). Prosta \(y=-x+1\) jest malejąca i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\). Punkt przecięcia wyznaczamy z równania \[ x-1=-x+1, \] więc \(x=1\) i \(y=0\). Taki układ prostych przedstawiono na rysunku A.

Banknotów stuzłotowych jest \(2x\), a dwudziestozłotowych \(y=x-2\). Suma wypłaconej kwoty daje równanie \[ 20y+50x+100\cdot2x=1040. \] Otrzymujemy układ z odpowiedzi A.