Wielomiany

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

Sumujemy wszystkie rozwiązania równania:

Dane są wielomiany:

Najpierw obliczamy iloczyn:

Teraz odejmujemy:

Z równania:

odczytujemy rozwiązania:

Suma wszystkich rozwiązań jest równa \(0\):

Równanie ma postać:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Dla trzeciego czynnika:

Ponieważ \(\Delta<0\), to ten czynnik nie daje rozwiązań rzeczywistych.

Iloczyn jest równy zero, więc: \(3x-12=0\) lub \(10+5x=0\) lub \(x-3=0\). Stąd \(x=4\), \(x=-2\), \(x=3\). Suma rozwiązań: \(4+(-2)+3=5\).

Równanie ma postać:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Równanie ma trzy różne rozwiązania:

Rozwiązujemy równanie:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

Ostatni czynnik:

nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo \(x^2\ge0\), więc \(x^2+25>0\).

Grupujemy wyrazy: \[ x^3+5x^2-2x-10=0, \] \[ x^2(x+5)-2(x+5)=0. \] Wyłączamy wspólny czynnik: \[ (x+5)(x^2-2)=0. \] Zatem \[ x+5=0 \] lub \[ x^2-2=0. \] Otrzymujemy: \[ x=-5 \] oraz \[ x=\pm\sqrt2. \] Zbiór rozwiązań: \[ \{-5,-\sqrt2,\sqrt2\}. \]

\[W(x)=(2-3x)^2(3x-2)=(3x-2)^3.\] Suma współczynników wielomianu jest równa \(W(1)\), zatem \[W(1)=(3-2)^3=1.\]

\[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(4x^2-1).\] \[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0.\] Stąd \(x=3\), \(x=\frac12\) lub \(x=-\frac12\).

Pierwsze stwierdzenie: \[ 3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x=W(x), \] więc jest prawdziwe. Drugie stwierdzenie: \[ W(-1)=-3+6-9=-6\ne0, \] więc jest fałszywe.

\[ x^3-2x^2-3x+6=0. \] Grupujemy wyrazy: \[ x^2(x-2)-3(x-2)=0, \] \[ (x-2)(x^2-3)=0. \] Stąd \[ x=2 \quad\text{lub}\quad x^2=3, \] czyli \[ x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}. \]

Ponieważ \(x+1\) jest dzielnikiem, \(W(-1)=0\): \[3-1-k+1=0,\quad k=3.\]

Rozwiązujemy równanie \[2x^3+3x^2-10x-15=0.\] Grupujemy wyrazy w dwie pary: \[(2x^3+3x^2)+(-10x-15)=0.\] Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), a z drugiej \(-5\): \[x^2(2x+3)-5(2x+3)=0.\] W obu składnikach występuje wspólny czynnik \(2x+3\), więc: \[(2x+3)(x^2-5)=0.\] Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru: \[2x+3=0\] lub \[x^2-5=0.\] Z pierwszego równania: \[x=-\frac32.\] Z drugiego równania: \[x^2=5,\] czyli \[x=-\sqrt5\quad\text{lub}\quad x=\sqrt5.\] Zatem \[x\in\left\{-\sqrt5,-\frac32,\sqrt5\right\}.\]

\[3x^3-2x^2-3x+2=0.\]
Grupujemy wyrazy:
\[x^2(3x-2)-1(3x-2)=0,\]
\[(3x-2)(x^2-1)=0,\]
\[(3x-2)(x-1)(x+1)=0.\]
Stąd \(x=\frac23\), \(x=1\) lub \(x=-1\).

\[ x^3+4x^2-9x-36=0, \] \[ x^2(x+4)-9(x+4)=0, \] \[ (x+4)(x^2-9)=0, \] \[ (x+4)(x-3)(x+3)=0. \] Stąd \(x=-4,-3,3\).

Równanie \[ \sqrt3(x^2-2)(x+3)=0 \] jest spełnione, gdy \[ x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0. \] Zatem \(x=\pm\sqrt2\) lub \(x=-3\). Wśród odpowiedzi znajduje się \(\sqrt2\).

\[ 3x^3-2x^2-12x+8=0. \] Grupujemy wyrazy: \[ x^2(3x-2)-4(3x-2)=0, \] \[ (3x-2)(x^2-4)=0, \] \[ (3x-2)(x-2)(x+2)=0. \] Stąd \[ x=\frac23,\quad x=2,\quad x=-2. \]

Grupujemy wyrazy: \[ W(x)=x^3-2x^2-3x+6 =x^2(x-2)-3(x-2). \] Wyłączamy wspólny czynnik: \[ W(x)=(x-2)(x^2-3). \]

Wyłączamy wspólny czynnik i grupujemy wyrazy: \[ 3x^3-6x^2-27x+54=3(x^3-2x^2-9x+18) \] \[ =3[x^2(x-2)-9(x-2)]=3(x-2)(x^2-9). \] Korzystamy z różnicy kwadratów: \[ 3(x-2)(x-3)(x+3)=0. \] Stąd \[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=3. \]