Ciąg geometryczny

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru:

Najpierw zapisujemy wyraz następny:

Zatem

Otrzymany iloraz nie zależy od \(n\), więc jest stały. Obliczamy jeszcze pierwszy wyraz ciągu:

Mamy \(a_1>0\) oraz \(0

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych:

Rozwijamy i rozwiązujemy równanie:

Wszystkie wyrazy mają być dodatnie, dlatego odrzucamy \(x=-4\). Dla \(x=4\) ciąg ma postać \((4,8,16)\).

W pięciowyrazowym ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest równy \(2\):

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów symetrycznie położonych względem środka jest równy kwadratowi środkowego wyrazu:

Zatem:

Ciąg jest określony wzorem:

Obliczamy pierwszy i dziewiąty wyraz:

Ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny, więc kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

Teraz korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu:

W ciągu geometrycznym wyraz ogólny ma postać:

Iloczyn wyrazów trzeciego i szóstego:

Iloczyn wyrazów drugiego i siódmego:

Te iloczyny są więc równe:

Z treści zadania:

Dla ciągu geometrycznego zachodzi:

Z treści zadania:

Podstawiamy \(a_8=a_6q^2\):

Dzielimy przez \(a_6\):

Ciąg jest malejący, więc iloraz nie może być ujemny, bo wtedy wyrazy zmieniałyby znaki. Wybieramy:

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\).

Mamy: \[ a_6=a_3\cdot q^3 \] Z treści zadania: \[ a_3=-8a_6 \] Podstawiamy \(a_6=a_3q^3\): \[ a_3=-8a_3q^3 \] Ponieważ wszystkie wyrazy są różne od zera, możemy podzielić przez \(a_3\): \[ 1=-8q^3 \] \[ q^3=-\frac18 \] \[ q=-\frac12 \] Odpowiedź: B. \(-\frac12\).

Najpierw korzystamy z tego, że ciąg \((\sqrt5,1,x)\) jest arytmetyczny.

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe: \[ 1-\sqrt5=x-1 \] \[ x=2-\sqrt5 \] Ponieważ \(\sqrt5>2\), otrzymujemy: \[ x<0 \]
Teraz ciąg \((\sqrt5,1,y)\) jest geometryczny. Iloraz tego ciągu: \[ q=\frac{1}{\sqrt5} \] Zatem: \[ y=1\cdot \frac{1}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5} \] czyli: \[ y>0 \] Odpowiedź: B. \(x<0\) i \(y>0\).

Trzywyrazowy ciąg \((4,m,m-1)\) jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

Rozwiązujemy równanie:

Rozwiązujemy metodą delty:

Obliczamy pierwsze wyrazy ciągu:

Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

Różnice kolejnych wyrazów:

Różnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

Ilorazy kolejnych wyrazów:

Ilorazy nie są równe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Dany jest ciąg geometryczny, w którym:

Obliczamy iloraz ciągu:

Kolejne wyrazy:

Kolejne wyrazy ciągu są równe: \[ a_1=3\cdot(-1)+10=7, \] \[ a_2=3\cdot1+10=13, \] \[ a_3=7,\quad a_4=13. \] Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Wśród ośmiu początkowych wyrazów cztery są równe \(7\), a cztery są równe \(13\). Zatem: \[ S_8=4\cdot7+4\cdot13=28+52=80. \] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: F, P.

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru: \[ q=\frac{a_3}{a_2}. \] Podstawiamy dane: \[ q=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}} =\frac{1}{9}\cdot 6 =\frac{2}{3}. \] Od trzeciego do piątego wyrazu wykonujemy dwa kroki, więc: \[ a_5=a_3q^2. \] Zatem: \[ a_5=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^2 =\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9} =\frac{4}{81}. \] Odpowiedź: C. \(\frac{4}{81}\).

W ciągu geometrycznym: \[ a_5=a_2q^3. \] Podstawiamy dane: \[ 54=2q^3. \] Stąd \[ q^3=27, \] czyli \[ q=3. \]

Ciąg przyjmuje naprzemiennie wartości \(7\) i \(3\), dlatego nie jest malejący. Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Dla ciągu arytmetycznego \[x=2\cdot2-(-1)=5>0.\] Dla ciągu geometrycznego \[2^2=(-1)\cdot y,\] więc \(y=-4<0\).

Iloraz dwóch pierwszych wyrazów: \[ q=\frac6{12}=\frac12. \] Trzeci wyraz powinien być równy: \[ 6\cdot\frac12=3. \] \[ 2m-1=3 \Rightarrow 2m=4 \Rightarrow m=2. \] Ciąg \(12,6,3\) jest malejący.

Dla ciągu geometrycznego \[12^2=(1-2a)\cdot48.\] Stąd \(144=48(1-2a)\), więc \(a=-1\).

Mamy \(a_n=128\left(-\frac12\right)^{n-1}\). Ponieważ \(2023-1=2022\) jest parzyste, \(a_{2023}>0\), więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponadto
\[a_2=-64,\qquad a_3=32,\]
więc
\[a_3-a_2=32-(-64)=96.\]
Drugie zdanie jest prawdziwe.

\[ q=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2, \] \[ a_3=(-7{,}5)\cdot(-2)=15. \] \[ S_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25. \]

Iloraz ciągu geometrycznego wynosi \[ q=\frac9{27}=\frac13. \] Trzeci wyraz: \[ 9\cdot\frac13=3. \] Zatem \[ a-1=3, \] czyli \[ a=4. \]

Iloraz ciągu wynosi \[ q=\frac{15}{-5}=-3. \] Wzór ogólny ma więc postać \[ a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}, \] czyli odpowiedź A. Ponadto \[ 5\cdot\frac{(-3)^n}{3} =-5\cdot(-3)^{n-1}, \] więc równoważna jest również odpowiedź E.

Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7^{n+1}/21}{7^n/21}=7, \] więc ciąg jest geometryczny. Trzy pierwsze wyrazy to \[ \frac13,\quad\frac73,\quad\frac{49}3. \] Ich suma wynosi \[ \frac{1+7+49}{3}=\frac{57}{3}=19, \] a nie \(20\).