Dowody algebraiczne

Każdą nieparzystą liczbę całkowitą można zapisać w postaci \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\).

Liczba \(k^2+2k+2\) jest całkowita. Otrzymane wyrażenie jest więc wielokrotnością liczby \(12\), co kończy dowód.

Wyłączamy wspólny czynnik \(7^n\):

Obliczamy nawias:

Całe wyrażenie ma więc czynnik \(19\).

Przekształcamy wyrażenie:

Wystarczy wykazać, że liczba \(n(n+3)\) jest parzysta.

Zatem \(n(n+3)\) jest parzyste, czyli można je zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwukrotnie:

Rozkładamy pierwszy nawias:

Zatem:

Liczba \(2501^2+2499^2\) jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest iloczynem liczby \(10000\) i liczby całkowitej.

\(8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=2^{145}\cdot31\). Liczba ma czynnik \(31\), więc jest podzielna przez \(31\).

Skoro liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), to istnieje liczba całkowita \(k\), taka że:

Skoro liczba \(b\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), to istnieje liczba całkowita \(l\), taka że:

Obliczamy różnicę kwadratów:

Wyłączamy \(5\) przed nawias:

Ponieważ \(k\) i \(l\) są liczbami całkowitymi, wyrażenie w nawiasie również jest liczbą całkowitą.

Zatem liczba \(a^2-b^2\) jest iloczynem liczby \(5\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(5\).

Niech \(n\) będzie nieparzystą liczbą naturalną. Wtedy istnieje liczba całkowita \(k\), taka że:

Podstawiamy do wyrażenia:

Rozwijamy:

Wyłączamy \(4\) przed nawias:

Wyrażenie ma postać \(4\) razy liczba całkowita, więc jest podzielne przez \(4\).

Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg o podstawie \(2\):

\[ 2^{100}+4^{49}+16^{24} =2^{100}+(2^2)^{49}+(2^4)^{24} \] \[ =2^{100}+2^{98}+2^{96}. \]
Wyłączamy przed nawias \(2^{96}\):

\[ 2^{96}\left(2^4+2^2+1\right) =2^{96}(16+4+1) =21\cdot 2^{96}. \]
Otrzymana liczba ma czynnik \(21\), więc jest podzielna przez \(21\).

Rozwijamy wyrażenie: \[ (2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3. \] Zatem \[ (2n+5)^2+3=4n^2+20n+28 =4(n^2+5n+7). \] Ponieważ \(n^2+5n+7\) jest liczbą całkowitą, całe wyrażenie jest wielokrotnością liczby \(4\).

\[5n^3-5n=5n(n-1)(n+1).\] Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\). Po pomnożeniu przez \(5\) otrzymujemy podzielność przez \(30\).

Rozwijamy kwadraty, korzystając ze wzoru \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[ (n+1)^2=n^2+2n+1, \] \[ (n+2)^2=n^2+4n+4. \]

Zatem

\[ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2 =n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4). \] \[ =3n^2+6n+5 =3(n^2+2n+1)+2 =3(n+1)^2+2. \]

Liczba \(3(n+1)^2\) jest podzielna przez \(3\), więc cała liczba przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Ponieważ \(n\) jest liczbą nieparzystą, możemy zapisać \[n=2k+1,\] gdzie \(k\in\mathbb Z\). Podstawiamy tę postać do wyrażenia: \[3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1.\] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\] Otrzymujemy: \[(2k+1)^2=4k^2+4k+1.\] Zatem \[3n^2+4n+1=3(4k^2+4k+1)+8k+4+1.\] Usuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: \[3n^2+4n+1=12k^2+12k+3+8k+4+1,\] \[3n^2+4n+1=12k^2+20k+8.\] Wyłączamy \(4\) przed nawias: \[3n^2+4n+1=4(3k^2+5k+2).\] Ponieważ \(k\in\mathbb Z\), to także \[3k^2+5k+2\in\mathbb Z.\] Wyrażenie \(3n^2+4n+1\) jest więc iloczynem liczby \(4\) i liczby całkowitej, a zatem jest podzielne przez \(4\).

\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5).\]
Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)(n+5)\) jest więc podzielny przez \(2\), a po pomnożeniu przez \(3\) całe wyrażenie jest podzielne przez \(6\).

\[ 49k^2+7k-2=49k^2+7k-7+5=7(7k^2+k-1)+5. \] Liczba \(7k^2+k-1\) jest całkowita, więc reszta z dzielenia przez \(7\) wynosi \(5\).

\[ (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1). \] Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem podzielny przez \(2\), a liczba \[ 4n(n+1) \] jest podzielna przez \(8\).

Wyłączamy wspólny czynnik: \[ 5n^2+15n=5n(n+3). \] Liczby \(n\) i \(n+3\) mają różną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\). Zatem \[ 5n(n+3) \] jest podzielne przez \(5\cdot2=10\).

Przekształcamy wyrażenie: \[ 10n^2+30n+8=5(2n^2+6n+1)+3. \] Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, wyrażenie \[ 2n^2+6n+1 \] jest liczbą całkowitą. Zatem \(5(2n^2+6n+1)\) jest wielokrotnością liczby \(5\). Całe wyrażenie ma więc postać \[ 5k+3, \] gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że przy dzieleniu przez \(5\) zawsze daje resztę \(3\).