Funkcja kwadratowa

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((2,4)\), a ramiona są skierowane w górę. Funkcja nie ma miejsc zerowych, natomiast jej oś symetrii ma równanie \(x=2\).

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji, więc:

Podstawiamy \(x=2\) do wzoru funkcji:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Oś symetrii paraboli ma równanie:

Punkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem osi symetrii.

Liczba \(-9\) leży \(6\) jednostek na lewo od osi \(x=-3\):

Drugi argument leży \(6\) jednostek na prawo od osi:

Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

Zapis \(f(x-5)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(5\) jednostek w prawo.

Wierzchołek funkcji \(f\) ma współrzędne:

Po przesunięciu o \(5\) jednostek w prawo otrzymujemy:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

Zapisujemy wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:

Dana jest funkcja:

Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\), więc:

Podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji \(f\):

Zatem:

Przekształcamy do postaci ogólnej:

Piłeczka uderzy w ziemię, gdy jej wysokość będzie równa \(0\).

Wyłączamy \(t\) przed nawias:

Stąd:

Czas \(t=0\) oznacza moment wyrzucenia piłeczki, więc pierwsze uderzenie o ziemię nastąpi po \(3\) sekundach.

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem:

Obliczamy współrzędną \(x\) wierzchołka:

Obliczamy współrzędną \(y\) wierzchołka:

Wysokość trójkąta \(ABC\) jest więc równa \(36\).

Obliczamy miejsca zerowe funkcji:

Długość podstawy \(AB\):

Pole trójkąta:

Funkcja ma postać kanoniczną:

Współczynnik przy \((x-\pi)^2\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół.

Wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku paraboli.

Ponieważ \(\pi\in[0,6]\), to w podanym przedziale funkcja przyjmuje wartość największą dla argumentu \(\pi\).

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc w przedziale domkniętym wartość najmniejsza będzie na jednym z końców przedziału.

Porównujemy odległości końców przedziału od wierzchołka \(x=\pi\):

Ponieważ:

punkt \(0\) jest dalej od wierzchołka niż punkt \(6\). Dla paraboli skierowanej ramionami w dół dalej od wierzchołka oznacza mniejszą wartość funkcji.

Jednym miejscem zerowym funkcji jest \(6\), a osią symetrii paraboli jest prosta \(x=1\).

Miejsca zerowe paraboli są symetryczne względem osi symetrii. Skoro jedno miejsce zerowe to \(6\), to drugie oznaczmy przez \(x_2\). Średnia miejsc zerowych musi być równa \(1\):

\[ \frac{6+x_2}{2}=1 \] \[ 6+x_2=2 \] \[ x_2=-4 \]
Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(\frac12\), więc wzór funkcji w postaci iloczynowej to:

\[ f(x)=\frac12(x-6)(x+4) \]
czyli odpowiedź C.

Z zadania 14.1 mamy:

\[ f(x)=\frac12(x+4)(x-6) \]
Mnożymy nawiasy:

\[ (x+4)(x-6)=x^2-2x-24 \] \[ f(x)=\frac12x^2-x-12 \]
Stąd:

\[ b=-1,\qquad c=-12 \]
Współczynnik \(b\) nie jest dodatni, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.
Współczynnik \(c\) także nie jest dodatni, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Odpowiedź: F, F.

Wykres funkcji \(f\) ma oś symetrii:

\[ x=1 \]
Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

\[ g(x)=f(x-3) \]
Zapis \(f(x-3)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(3\) jednostki w prawo.

Oś symetrii również przesuwa się o \(3\) jednostki w prawo:

\[ x=1+3=4 \]
Odpowiedź: D. \(x=4\).

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta:

Jednym z miejsc zerowych jest liczba \(1\). Drugie miejsce zerowe leży symetrycznie względem osi \(x=-1\).

Odległość liczby \(1\) od \(-1\) wynosi \(2\), więc drugie miejsce zerowe to:

Funkcję możemy zapisać w postaci iloczynowej:

Wykres przechodzi przez punkt \((2,15)\), więc podstawiamy \(x=2\) oraz \(f(2)=15\):

Zatem:

Wierzchołek ma współrzędną \(x=-1\). Obliczamy jego drugą współrzędną:

Wierzchołek ma więc współrzędne \((-1,-12)\), a postać kanoniczna to:

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma wzór:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,6)\), więc:

Zatem:

Parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), czyli:

Podstawiamy \(x=0\):

Ostatecznie:

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek.

Wierzchołek ma współrzędne:

Dlatego oś symetrii ma równanie:

Funkcja \(g\) jest określona wzorem:

Miejsca zerowe funkcji \(g\) spełniają warunek:

Z wykresu oraz z treści zadania wiemy, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), więc jednym rozwiązaniem jest:

Oś symetrii paraboli to \(x=3\), więc drugi punkt o tej samej wartości \(y=3\) leży symetrycznie względem tej osi.

Suma miejsc zerowych funkcji \(g\):

Wierzchołkiem paraboli jest punkt \((3,0)\), a punkt \((0,-9)\) leży poniżej wierzchołka. Ramiona paraboli są więc skierowane w dół.

Funkcja rośnie do argumentu \(3\), a następnie maleje. Zatem jest malejąca w przedziale: \[ [3,+\infty). \] Odpowiedź: D.

Korzystamy z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne \((3,0)\), zapisujemy: \[ f(x)=a(x-3)^2. \] Parabola przechodzi przez punkt \((0,-9)\), więc: \[ -9=a(0-3)^2=9a, \] stąd \(a=-1\). Otrzymujemy: \[ f(x)=-(x-3)^2. \] Jest to odpowiedź B.

Po rozwinięciu: \[ f(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9, \] czyli również odpowiedź D.

Odpowiedź: B i D.

Mamy: \[ g(x)=f(x)-1=-(x-3)^2-1. \] Ponieważ \(-(x-3)^2\le 0\), to: \[ g(x)\le -1. \] Funkcja \(g\) nie ma miejsc zerowych, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w dół nie zmienia osi symetrii. Nadal jest nią prosta: \[ x=3. \] Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

Odpowiedź: F, P.

Z wykresu odczytujemy, że parabola jest skierowana ramionami do góry, a jej wierzchołek ma współrzędne \[ (1,-2). \] Najmniejszą wartością funkcji jest więc \(-2\), a funkcja przyjmuje wszystkie wartości większe lub równe \(-2\): \[ [-2,+\infty). \]

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą \(1\), dlatego równanie osi symetrii ma postać \[ x=1. \]

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli: \[ W=(1,-2). \] Wzór w postaci kanonicznej musi więc mieć postać \[ f(x)=a(x-1)^2-2. \] Parabola jest skierowana ramionami do góry, więc \(a>0\). Spośród podanych odpowiedzi warunki te spełnia: \[ f(x)=\frac12(x-1)^2-2. \]

Punkt \(N=(3,0)\) jest jedynym punktem wspólnym paraboli z osią \(Ox\), więc jest wierzchołkiem. \[f(x)=a(x-3)^2.\] Ponieważ \(f(0)=18\), mamy \(9a=18\), czyli \(a=2\).

Funkcja ma postać kanoniczną \[f(x)=-(x+1)^2+4.\] Jej wierzchołek to \((-1,4)\), a ramiona paraboli są skierowane w dół.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3,\] więc pierwsze zdanie jest fałszywe. \[f(x)=0\iff (x+1)^2=4\iff x=-3\ \text{lub}\ x=1.\]

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe: \(-2\) i \(4\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, dlatego \(f(x)\ge0\) pomiędzy miejscami zerowymi: \[ x\in[-2,4]. \]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,9)\), a ramiona są skierowane w dół. Postać kanoniczna ma więc postać \[ f(x)=-(x-1)^2+9. \]

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=1\). Liczby \(-4\) i \(6\) leżą w tej samej odległości od osi: \[ 1-(-4)=5,\qquad 6-1=5. \] Dlatego \[ f(-4)=f(6). \]

Funkcja \[ g(x)=f(x+3) \] powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(3\) jednostki w lewo. Wierzchołek przechodzi z \((1,9)\) do \((-2,9)\), więc jest to rysunek A. Funkcja \[ h(x)=f(-x) \] jest odbiciem wykresu \(f\) względem osi \(Oy\). Wierzchołek przechodzi do \((-1,9)\), więc jest to rysunek E.

Wierzchołek ma współrzędne \((4,-2)\), a ramiona paraboli są skierowane w górę. Zatem \[W_f=[-2,+\infty).\]

Funkcja przyjmuje wartości ujemne pomiędzy miejscami zerowymi \(2\) i \(6\), więc \[x\in(2,6).\]

Miejsca zerowe to \(2\) i \(6\), a \(f(0)=6\): \[6=a(-2)(-6)\Rightarrow a=\frac12.\] Stąd \[f(x)=\frac12(x-2)(x-6)=\frac12(x-4)^2-2.\]

Funkcja \(g(x)=f(x+1)\) powstaje przez przesunięcie wykresu o \(1\) jednostkę w lewo. Wierzchołek przechodzi z \((4,-2)\) do \((3,-2)\), a miejsca zerowe z \(2,6\) do \(1,5\). To rysunek B.

Funkcja ma postać wierzchołkową \[ f(x)=(x-13)^2-256, \] więc pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa \[ p=13. \] Jedno miejsce zerowe to \[ x_1=-3. \] Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi, dlatego \[ p=\frac{x_1+x_2}{2}. \] Podstawiamy: \[ 13=\frac{-3+x_2}{2}. \] \[ 26=-3+x_2, \] \[ x_2=29. \] Drugim miejscem zerowym jest \(29\), czyli odpowiedź D.

Szukamy funkcji, których zbiorem wartości jest \[ (-\infty,2]. \] Dla funkcji A mamy od razu postać wierzchołkową: \[ A(x)=-(x-3)^2+2. \] Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne \[ (p,q)=(3,2). \] Największą wartością funkcji jest więc \(2\). Dla funkcji F: \[ F(x)=-2x^2+4x. \] Wyznaczamy współrzędne wierzchołka: \[ p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1. \] Następnie \[ q=F(1)=-2\cdot1^2+4\cdot1=2. \] Parabola jest skierowana ramionami w dół, ponieważ \(a=-2<0\), a jej największa wartość wynosi \(2\). Poprawne odpowiedzi to A i F.

Ponieważ \(a<0\), ramiona paraboli są skierowane w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[ p=-\frac{b}{2a}. \] Mamy \(-b<0\) i \(2a<0\), więc \(p>0\). Warunki spełnia wykres D.

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=3\). Średnia miejsc zerowych jest równa \(3\): \[ \frac{-5+x_2}{2}=3. \] \[ -5+x_2=6, \] stąd \[ x_2=11. \]

Pierwsze zdanie jest fałszywe, ponieważ \(L(30)\) oznacza liczbę klientów obsłużonych trzydziestego dnia, a nie łączną liczbę klientów z trzydziestu dni. Dla trzeciego dnia: \[ L(3)=-3^2+22\cdot3+279=-9+66+279=336. \] Drugie zdanie jest prawdziwe.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((5,-3)\), a ramiona paraboli są skierowane do góry. Najmniejszą wartością funkcji jest więc \(-3\). Zbiór wartości to \[ [-3,\infty). \]

Postać kanoniczna ma postać \[ f(x)=a(x-5)^2-3. \] Punkt \((4,0)\) należy do wykresu, więc \[ 0=a(4-5)^2-3, \] \[ a=3. \] Zatem \[ f(x)=3(x-5)^2-3. \]

Ponieważ \(c=f(0)<0\), wykres przechodzi poniżej osi \(Ox\). Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc cały wykres musi leżeć pod osią \(Ox\). Ramiona paraboli są zatem skierowane w dół, czyli \(a<0\), a brak miejsc zerowych oznacza \[ \Delta=b^2-4ac<0. \] Poprawna odpowiedź: B oraz 1.

Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej \[ f(x)=-(x-1)^2+2. \] Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,2)\).

Ramiona paraboli są skierowane w dół, a największa wartość funkcji wynosi \(2\). Zatem zbiorem wartości jest \[ (-\infty,2]. \]