Funkcja liniowa

Prosta przechodzi przez punkt \(A=(0,-6)\), więc jej równanie to \(y=2x-6\).

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

Dana jest funkcja:

Współczynnik kierunkowy wynosi \(3\). Ponieważ \(3>0\), funkcja jest rosnąca.

Punkt przecięcia z osią \(OY\) otrzymujemy dla \(x=0\):

Wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,-4)\), a nie w punkcie \((0,4)\).

Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca.

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny.

Punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\) leży poniżej osi \(OX\).

Oznacza to, że współczynnik \(b\) jest ujemny.

Z wykresu odczytujemy dwa punkty należące do prostej, na przykład:

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(OX\):

Zatem:

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej:

Zatem ma taki sam współczynnik kierunkowy:

Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \((2,-2)\). Podstawiamy:

Punkt przecięcia z osią \(OY\) ma współrzędne:

Funkcja liniowa jest określona wzorem:

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:

Nie dla każdego \(k\in(-\infty,2)\) funkcja jest malejąca, bo na przykład dla \(k=0\) mamy \(k+2=2>0\).

Sprawdzamy drugie zdanie dla \(k=4\):

Dla \(x=0\):

Zatem wykres przechodzi przez punkt \((0,1)\).

Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.

Przekształcamy równanie prostej \(k\):

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:

Przekształcamy równanie prostej \(l\):

Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy:

Porównujemy współczynniki:

Miejscem zerowym jest \(-3\), więc wykres przechodzi przez punkt \((-3,0)\). Dla argumentu \(0\) wartość wynosi \(-\frac32\), więc wykres przechodzi przez punkt \((0,-\frac32)\). Współczynnik kierunkowy to \(a=\frac{-\frac32-0}{0-(-3)}=-\frac12\), a wyraz wolny to \(-\frac32\).

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

Dane są proste: \[ k:\ y=(3-m)x+5 \] \[ l:\ y=(m+3)x-4 \] Współczynniki kierunkowe to: \[ 3-m \quad \text{oraz} \quad m+3 \] Warunek równoległości: \[ 3-m=m+3 \] \[ -m=m \] \[ 2m=0 \] \[ m=0 \]

Funkcja liniowa jest określona wzorem:

Miejsce zerowe funkcji spełnia równanie:

Z treści zadania wiemy, że miejsce zerowe jest większe od \(2\), więc:

Prosta \(k\) ma równanie:

Jej współczynnik kierunkowy jest równy \(5\).

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\), więc ma taki sam współczynnik kierunkowy:

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), więc jej wyraz wolny jest równy \(-4\).

Równanie prostej \(l\):

Punkt \((p,2)\) należy do tej prostej, więc podstawiamy \(x=p\) oraz \(y=2\):

Funkcja \(f\) jest określona wzorem:

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza, że w miejsce \(x\) podstawiamy \(x-1\):

Funkcja liniowa ma wzór:

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera.

Współczynnik przy \(x\) musi być równy zero:

Wtedy funkcja ma postać:

Jest stała i nie przyjmuje wartości \(0\), więc nie ma miejsca zerowego.

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.

Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) to \(m-2\), a prostej \(l\) to \(-4\).

Wykres funkcji przechodzi przez punkty \((0,4)\) oraz \((2,0)\). Współczynnik kierunkowy jest równy: \[ a=\frac{0-4}{2-0}=-2, \] więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji ma przyprostokątne długości \(2\) i \(4\). Jego pole wynosi: \[ P=\frac12\cdot2\cdot4=4. \] Nie jest więc równe \(8\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F.

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Prosta \(l\) ma więc równanie:

\[ y=-7x+6. \]
Punkt \((1,p)\) należy do tej prostej, więc:

\[ p=-7\cdot1+6=-1. \]
Odpowiedź: B. \(-1\).

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia: \[ \tan\alpha=\frac{\sqrt3}{3}. \] Ponieważ \[ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}, \] to \[ \alpha=30^\circ. \] Zatem \[ \sin\alpha=\sin30^\circ=\frac12. \]

Masa bańki z mlekiem jest opisana funkcją \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5. \] Jej współczynnik kierunkowy \(1{,}03\) jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca. Pierwsze zdanie jest więc fałszywe. Dla \(x\in[0,10]\) mamy \[ f(x)\ge f(0)=6{,}5>0, \] zatem funkcja nie ma miejsca zerowego w swojej dziedzinie. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Funkcja \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5 \] jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[ f(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8. \]

Pusta bańka ma masę \(6{,}5\) kg, a każdy litr mleka zwiększa jej masę o \(1{,}03\) kg. Dla \(x\) litrów mleka masa całkowita wynosi więc \[ f(x)=1{,}03x+6{,}5. \]

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[ 3m-2=2m+4. \] Stąd \[ m=6. \]

Podstawiamy \(x=2\), ponieważ liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji:

\[ f(2)=0. \] \[ (3-m)\cdot2+4=0. \] \[ 6-2m+4=0. \] \[ 10-2m=0. \] \[ -2m=-10. \] \[ m=5. \]

Odpowiedź: D. \(m=5\).

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Na rysunku obie proste są malejące, a ich współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac32\). Warunek ten spełnia układ z odpowiedzi A.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: \[ -2k+3<0. \] \[ -2k<-3, \] a po podzieleniu przez liczbę ujemną: \[ k>\frac32. \]

Miejsce zerowe funkcji \[ f(x)=3x+6 \] wynosi \[ 3x+6=0 \Rightarrow x=-2. \] Funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe: \[ g(-2)=-2a+7=0. \] \[ a=\frac72. \]

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają: \[ a_1a_2=-1. \] \[ (m+1)\cdot(-2)=-1. \] \[ m+1=\frac12, \] więc \[ m=-\frac12. \]

Dana jest funkcja \[f(x)=-\frac16x+\frac23.\] Zdanie 1. Sprawdzamy, czy liczba \(4\) jest miejscem zerowym funkcji. Miejsce zerowe spełnia równanie \[f(x)=0.\] Zatem \[-\frac16x+\frac23=0.\] Przenosimy \(\frac23\) na prawą stronę: \[-\frac16x=-\frac23.\] Mnożymy obie strony równania przez \(-6\): \[x=4.\] Liczba \(4\) jest miejscem zerowym funkcji, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe. Zdanie 2. Punkt przecięcia wykresu z osią \(Oy\) otrzymujemy dla \[x=0.\] Obliczamy: \[f(0)=-\frac16\cdot0+\frac23=\frac23.\] Wykres przecina więc oś \(Oy\) w punkcie \[\left(0,\frac23\right),\] a nie w punkcie \[\left(0,-\frac16\right).\] Drugie zdanie jest zatem fałszywe.

Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy \[\frac32.\] Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy \[-\frac{1}{\frac32}=-\frac23.\] Szukana prosta ma więc postać \[y=-\frac23x+b.\] Przechodzi ona przez punkt \(P=(6,0)\). Podstawiamy jego współrzędne: \[0=-\frac23\cdot6+b,\] \[0=-4+b,\] \[b=4.\] Równanie prostej ma postać \[y=-\frac23x+4.\]

Dla prostych równoległych współczynniki kierunkowe są równe: \[2m-1=-\frac12,\qquad m=\frac14.\]

Wykres przechodzi przez punkty \((1,0)\) i \((-1,4)\). Współczynnik kierunkowy:
\[a=\frac{0-4}{1-(-1)}=-2.\]
Z warunku \(f(1)=0\): \(0=-2+b\), więc \(b=2\). Zatem \(f(x)=-2x+2\).

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy \(\frac34\), więc ma postać \(y=\frac34x+b\). Podstawiamy punkt \((12,-1)\):
\[-1=\frac34\cdot12+b=9+b,\]
więc \(b=-10\).

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \(\sqrt3\), \(-\sqrt3\) oraz \(-\frac1{\sqrt3}\). Iloczyn współczynników pierwszej i trzeciej prostej jest równy
\[\sqrt3\cdot\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=-1,\]
więc te proste są prostopadłe. Trójkąt jest zatem prostokątny. Poprawna odpowiedź: B2.

Proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe: \[ 2m+3=-1. \] \[ 2m=-4,\qquad m=-2. \]

\[ a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac47. \]

Współczynnik kierunkowy funkcji \(f\) wynosi \(-1\), więc prosta prostopadła ma współczynnik \(1\): \[ g(x)=x+b. \] Ponieważ przechodzi przez \(P=(0,-1)\), mamy \(b=-1\). Zatem \[ g(x)=x-1. \]

Prosta opada, więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: \[ a<0. \] Przecina dodatnią część osi \(Oy\), zatem \[ b>0. \]

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \[ \frac23\quad\text{i}\quad-\frac32. \] Ich iloczyn jest równy \(-1\), więc proste są prostopadłe. Punkt przecięcia spełnia \[ \frac23x=-\frac32x+13. \] \[ \frac{13}{6}x=13, \] stąd \(x=6\), a \[ y=\frac23\cdot6=4. \] Punkt przecięcia to \(P=(6,4)\).

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy: \[ a=-\frac13. \] Podstawiamy punkt \(P=(3,5)\): \[ 5=-\frac13\cdot3+b=-1+b. \] Stąd \[ b=6. \]

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \[ a_k=\frac13,\qquad a_l=-3. \] Ich iloczyn jest równy \[ \frac13\cdot(-3)=-1. \] Zatem proste są prostopadłe.

Prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(-1\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(2m,m)\) wynosi \[ \frac{m-2}{2m-1}. \] Warunek równoległości: \[ \frac{m-2}{2m-1}=-1. \] Stąd \[ m-2=-2m+1, \] \[ 3m=3, \] \[ m=1. \]

Największa głębokość jest na końcu basenu, czyli dla \(x=25\). Korzystamy z drugiego wzoru: \[ y=0{,}18\cdot25-0{,}9=4{,}5-0{,}9=3{,}6\text{ m}. \]

Dla \(x=0\) głębokość wynosi \(1{,}2\) m, więc \[ b=1{,}2. \] Oba odcinki dna łączą się dla \(x=15\). Z drugiego wzoru: \[ y=0{,}18\cdot15-0{,}9=1{,}8. \] Zatem \[ 15a+1{,}2=1{,}8, \] \[ 15a=0{,}6, \] \[ a=0{,}04. \]

Punkt \(A=(-1,3)\) należy do prostej \(y=3x+b\), więc \[ 3=3\cdot(-1)+b. \] Stąd \[ b=6. \]

Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą \[ a_k=\frac12,\qquad a_l=-2. \] Ich iloczyn jest równy \[ \frac12\cdot(-2)=-1, \] więc proste są prostopadłe.