Kąty w okręgu

Kąty \(\angle DBC=\beta\) oraz \(\angle DAC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(DC\), dlatego mają równe miary:

Ponieważ \(AC\) jest średnicą okręgu, kąt \(\angle ADC\) jest prosty. W trójkącie \(ADC\):

Po zastąpieniu \(\angle DAC\) przez \(\beta\) otrzymujemy:

Odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu, więc łuk od \(B\) do \(D\) ma miarę \(180^\circ\).

Kąt wpisany \(\angle ABD\) ma miarę \(18^\circ\), więc oparty na nim łuk \(AD\) ma miarę dwa razy większą:

Punkt \(D\) jest środkiem krótszego łuku \(CA\), więc:

Na półokręgu od \(B\) do \(D\) mamy:

Kąt \(\angle BCA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\), dlatego:

Kąt wpisany \(\angle CDA\) ma miarę \(50^\circ\), więc oparty na nim łuk \(CA\) ma miarę dwa razy większą.

Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\), a kąt środkowy \(\angle COB\) ma miarę \(30^\circ\). Zatem:

Cały krótszy łuk \(CA\) ma \(100^\circ\), więc łuk \(BA\) ma miarę:

Kąt \(\angle BOA\) jest kątem środkowym opartym na łuku \(BA\), dlatego:

Kąt \(COB\) jest kątem środkowym i ma miarę \(90^\circ\), więc łuk \(CB\) ma miarę:

Kąt \(AKD\) jest kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy. Jego miara jest równa połowie sumy miar odpowiednich łuków:

Podstawiamy:

Ponieważ \(BD\) jest średnicą, łuk \(BAD\) ma miarę \(180^\circ\). Zatem:

Kąt \(BDA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\), więc:

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu i leży na odcinku \(BD\), więc \(BD\) jest średnicą.

Ponieważ \(SA=SD\), trójkąt \(ASD\) jest równoramienny. Kąt \(BDA\) ma \(40^\circ\), a odcinki \(DB\) i \(DS\) leżą na jednej prostej, więc: \[ \angle SDA=40^\circ \] W trójkącie równoramiennym \(ASD\): \[ \angle SAD=40^\circ \] Zatem: \[ \angle ASD=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ \] Kąty \(\angle ASD\) i \(\angle BSA\) są dopełniające do \(180^\circ\), bo \(B,S,D\) leżą na jednej prostej: \[ \angle BSA=180^\circ-100^\circ=80^\circ \] Odpowiedź: D. \(80^\circ\).

Dziesięciokąt foremny ma \(10\) równych łuków na okręgu opisanym.

Miara jednego łuku, czyli jednego kąta środkowego, wynosi:

Kąt wpisany \(\angle AGD\) jest oparty na łuku \(AD\), który nie zawiera punktu \(G\).

Łuk od \(A\) do \(D\) przechodzi przez trzy kolejne odcinki:

Jego miara jest więc równa:

Kąt wpisany jest równy połowie miary łuku, na którym jest oparty:

Kąt \(BCA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BA\).

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą:

W trójkącie \(AOB\) mamy:

bo są to promienie okręgu. Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny.

Miary kątów przy podstawie \(AB\) są równe:

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc:

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego:

\[ 2\cdot60^\circ=120^\circ. \]
Długość łuku wynosi:

\[ l=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=4\pi. \]
Odpowiedź: B. \(4\pi\).

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu. Zaznaczony kąt środkowy ma miarę \[ 160^\circ. \] Kąt wpisany \(\angle KLM\) jest oparty na drugim, większym łuku \(KM\). Miara tego łuku wynosi: \[ 360^\circ-160^\circ=200^\circ. \] Miara kąta wpisanego jest równa połowie miary łuku, na którym ten kąt jest oparty, zatem: \[ \angle KLM=\frac{200^\circ}{2}=100^\circ. \]

Łuk stanowi \(\frac15\) okręgu, więc odpowiada mu kąt środkowy \[360^\circ\cdot\frac15=72^\circ.\] Kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary, czyli \(36^\circ\).

Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(42^\circ\), więc oparty na tym samym łuku kąt środkowy: \[ \angle ASB=2\cdot42^\circ=84^\circ. \] Trójkąt \(ASB\) jest równoramienny, ponieważ \(SA=SB\). Zatem kąty przy podstawie mają miarę: \[ \frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ. \]

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, zatem \[\angle OBC=90^\circ.\] Z rysunku \[\angle ABC=32^\circ.\] Stąd \[\angle ABO=90^\circ-32^\circ=58^\circ.\] Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, ponieważ \[OA=OB\] — są to promienie tego samego okręgu. Zatem \[\angle BAO=\angle ABO=58^\circ.\] Suma kątów w trójkącie \(AOB\) wynosi \(180^\circ\), więc \[\angle AOB=180^\circ-58^\circ-58^\circ=64^\circ.\] Ponieważ punkty \(A,O,C\) leżą na jednej prostej, \[\angle AOC=180^\circ.\] Stąd \[\angle BOC=180^\circ-64^\circ=116^\circ.\]

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego, więc \(\beta=2\alpha\). Z treści również \(\beta=\alpha+40^\circ\). Stąd
\[2\alpha=\alpha+40^\circ,\quad \alpha=40^\circ,\]
więc \(\beta=80^\circ\).

Kąty wpisane oparte na tych samych łukach dają \[ \angle ACB=20^\circ,\qquad \angle DAC=40^\circ. \] W trójkącie \(AKD\): \[ \angle AKD=180^\circ-20^\circ-40^\circ=120^\circ. \] Zatem kąt przyległy \[ \angle DKC=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

Trójkąt \(AOC\) jest równoramienny, więc \[ \angle OAC=\angle ACO=70^\circ. \] Zatem \[ \angle AOC=180^\circ-140^\circ=40^\circ. \] Kąt wpisany \(ABC\), oparty na tym samym łuku \(AC\), ma miarę \[ \frac{40^\circ}{2}=20^\circ. \]

Suma kątów środkowych wokół punktu \(O\) wynosi \(360^\circ\). Kąt środkowy oparty na łuku \(BC\), który nie zawiera punktu \(A\), ma miarę \[ 360^\circ-130^\circ-110^\circ=120^\circ. \] Kąt wpisany \(BAC\) oparty na tym samym łuku ma miarę równą połowie kąta środkowego: \[ \frac{120^\circ}{2}=60^\circ. \]

Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, więc \(\angle OAB=\angle ABO=40^\circ\). Stąd \[ \angle AOB=180^\circ-80^\circ=100^\circ. \] Trójkąt \(BOC\) także jest równoramienny. Ponieważ \(\angle OBC=10^\circ\), mamy \(\angle BCO=10^\circ\), a więc \[ \angle BOC=160^\circ. \] Z sumy kątów wokół punktu \(O\): \[ \angle AOC=360^\circ-100^\circ-160^\circ=100^\circ. \] Trójkąt \(AOC\) jest równoramienny, dlatego \[ \angle ACO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ. \]