Logarytmy

Obliczamy wartość logarytmu:

Pierwiastek trzeciego stopnia zapisujemy jako potęgę o wykładniku \(\frac13\):

Liczbę \(25\) zapisujemy jako potęgę liczby \(5\):

Podstawiamy:

Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\):

Zatem:

Logarytm \(\log_5 5^{\frac23}\) jest równy wykładnikowi, czyli:

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi liczby \(2\):

Obliczamy pierwszy logarytm. Szukamy takiej liczby \(x\), że:

Po zapisaniu w postaci potęg liczby \(2\) mamy:

Czyli:

Porównujemy wykładniki:

Stąd:

Zatem:

Analogicznie obliczamy drugi logarytm:

Teraz odejmujemy:

Obliczamy wartość logarytmu:

Najpierw zapisujemy pierwiastek jako potęgę:

Podstawę logarytmu zapisujemy jako potęgę liczby \(2\):

Mamy więc:

Szukamy takiej liczby \(x\), że:

Upraszczamy lewą stronę:

Podstawy są takie same, więc porównujemy wykładniki:

Dzielimy przez \(3\):

Obliczamy wartość wyrażenia:

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:

Podstawiamy \(a=3\), \(x=2\), \(y=18\):

Upraszczamy ułamek:

Zatem:

Liczbę \(\frac19\) zapisujemy jako potęgę liczby \(3\):

Wobec tego:

Logarytm \(\log_3(3^{-2})\) oznacza wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść \(3\), aby otrzymać \(3^{-2}\).

Sprawdzamy prawdziwość dwóch zdań dotyczących logarytmów.

Pierwsze zdanie:

Korzystamy ze wzoru:

Zatem:

Ponieważ:

otrzymujemy:

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Drugie zdanie:

Liczbę \(2\) zapisujemy jako logarytm przy podstawie \(3\):

bo:

Zatem:

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów:

Otrzymujemy:

To nie jest \(\log_3 10\), więc drugie zdanie jest fałszywe.

Obliczamy wartość wyrażenia:

Najpierw przekształcamy drugi składnik. Korzystamy ze wzoru:

Dla \(r=2\), \(a=3\), \(x=2\) mamy:

Czyli:

Podstawiamy do wyrażenia:

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów:

Otrzymujemy:

Dzielimy:

Zatem:

Ponieważ:

to:

Korzystamy z własności logarytmów:

\[ 6\log_7 y=\log_7(y^6). \]
Zatem

\[ \log_7 x+6\log_7 y =\log_7 x+\log_7(y^6) =\log_7(xy^6). \]
Odpowiedź: D. \\(\\log_7(xy^6)\\).

Korzystamy ze wzoru \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy). \] Mamy więc \[ \log_2 16+\log_2 9=\log_2(16\cdot 9)=\log_2 144, \] zatem prawdziwa jest odpowiedź C. Ponadto \[ \log_2 16+\log_2 9 =4+\log_2(3^2) =4+2\log_2 3, \] więc prawdziwa jest również odpowiedź E.

\[\log_3\frac32+\log_3\frac29=\log_3\left(\frac32\cdot\frac29\right)=\log_3\frac13=-1.\]

\[ \log_{\sqrt3}9=x \] oznacza, że \[ (\sqrt3)^x=9. \]

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby \(3\):

\[ \left(3^{\frac12}\right)^x=3^2. \] \[ 3^{\frac{x}{2}}=3^2. \]

Porównujemy wykładniki:

\[ \frac{x}{2}=2, \] \[ x=4. \]

Obliczamy wartość wyrażenia:

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:

Zatem:

Ponieważ \(32=2^5\), mamy:

\[ \log_{25}1-\frac12\log_{25}5 =0-\frac12\cdot\frac12 =-\frac14. \] Zatem poprawna jest odpowiedź A.

\[ \log_2\frac18+\log_2 4 =\log_2\frac12=-1. \]

Przechodzimy z logarytmów o podstawie \(9\) do potęg liczby \(9\): \[ 27=9^{\frac32},\qquad 3=9^{\frac12}. \] Zatem \[ \log_9 27+\log_9 3 =\frac32+\frac12 =2. \] Równoważnie można zapisać: \[ \log_9 27+\log_9 3 =\log_9(27\cdot3) =\log_9 81 =2, \] ponieważ \[ 9^2=81. \]

Ponieważ \(\sqrt{10}=10^{\frac12}\), mamy \[ f(\sqrt{10})=-\log\sqrt{10}=-\log 10^{\frac12}=-\frac12. \]

Korzystamy z wartości logarytmów: \[ \log_5 5=1,\qquad \log_5 625=\log_5 5^4=4. \] Zatem \[ 2\log_5 5+1-\frac12\log_5 625=2+1-2=1. \]