Prawdopodobieństwo

W dwóch rzutach kostką mamy \(6\cdot6=36\) jednakowo prawdopodobnych wyników. Sumę większą od 10 dają wyniki \((5,6),(6,5),(6,6)\).

Losujemy dwie liczby bez zwracania ze zbioru:

Liczba wszystkich możliwych wyników losowania, z uwzględnieniem kolejności:

Pierwsza liczba ma być parzysta, więc może być równa \(2\), \(4\) albo \(6\).

Sprawdzamy przypadki, w których iloczyn obu liczb jest większy od \(16\):

Liczba wyników sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Ze zbioru \(X\) losujemy jedną z \(5\) cyfr, a ze zbioru \(Y\) jedną z \(5\) cyfr.

Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).

Cyfra jedności pochodzi ze zbioru \(Y=\{0,2,4,6,8\}\), więc liczba zawsze jest parzysta.

Sprawdzamy podzielność przez \(3\), czyli sumę cyfr.

Liczba wyników sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Liczb naturalnych dwucyfrowych jest:

Dwucyfrowe wielokrotności liczby \(34\) to:

Są więc \(2\) wyniki sprzyjające.

Prawdopodobieństwo:

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką, więc wszystkich możliwych wyników jest: \[ 6\cdot6=36 \]
Pierwszy wynik jest cyfrą dziesiątek, a drugi cyfrą jedności.

Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności musi być nieparzysta: \[ 1,\ 3,\ 5 \] Dodatkowo liczba ma być podzielna przez \(3\), czyli suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\).

Sprawdzamy możliwości:
dla cyfry jedności \(1\): cyfra dziesiątek \(2\) lub \(5\), czyli \(21,51\);
dla cyfry jedności \(3\): cyfra dziesiątek \(3\) lub \(6\), czyli \(33,63\);
dla cyfry jedności \(5\): cyfra dziesiątek \(1\) lub \(4\), czyli \(15,45\).

Mamy \(6\) wyników sprzyjających: \[ 21,\ 51,\ 33,\ 63,\ 15,\ 45 \] Zatem: \[ P(A)=\frac{6}{36}=\frac16 \]

Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, a zbiór \(Y\) ma \(4\) elementy.

Liczba wszystkich możliwych uporządkowanych par \((x,y)\) jest równa:

Szukamy par spełniających warunek:

Iloczyn jest nieujemny, gdy:

• obie liczby są dodatnie,

• obie liczby są ujemne,

• co najmniej jedna z nich jest równa \(0\).

1. Obie liczby ujemne

W zbiorze \(X\) są trzy liczby ujemne: \(-3,-2,-1\).

W zbiorze \(Y\) są dwie liczby ujemne: \(-2,-1\).

2. Obie liczby dodatnie

W zbiorze \(X\) są dwie liczby dodatnie: \(1,2\).

W zbiorze \(Y\) jest jedna liczba dodatnia: \(1\).

3. Iloczyn równy zero

Iloczyn jest równy zero, gdy \(x=0\) lub \(y=0\).

Dla \(x=0\) mamy \(4\) par, a dla \(y=0\) mamy \(6\) par. Para \((0,0)\) została policzona dwa razy, więc:

Liczba par sprzyjających:

Prawdopodobieństwo:

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką.

Liczba wszystkich możliwych wyników to:

Suma oczek ma być równa \(11\). Możliwe wyniki to:

Są więc \(2\) wyniki sprzyjające.

Prawdopodobieństwo:

Wszystkich możliwych wyników losowania jest:

\[ |\Omega|=6\cdot4=24. \]
Liczymy wyniki sprzyjające:

• dla liczby \(8\) ze zbioru \(D\) każdy iloczyn jest podzielny przez \(4\) — \(6\) wyników,
• dla liczby \(7\) tylko liczba \(4\) ze zbioru \(C\) daje odpowiedni iloczyn — \(1\) wynik,
• dla liczby \(9\) również tylko liczba \(4\) — \(1\) wynik,
• dla liczby \(10\) należy wylosować liczbę parzystą: \(2\), \(4\) lub \(6\) — \(3\) wyniki.

Zatem:

\[ |A|=6+1+1+3=11. \]
Prawdopodobieństwo wynosi:

\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{24}. \]
Odpowiedź: \(\frac{11}{24}\).

Wszystkich możliwych wyników jest: \[ |C|\cdot|D|=5\cdot3=15. \] Suma jest większa od \(9\) w następujących przypadkach: \[ 7+3=10, \] oraz \[ 9+1=10,\qquad 9+2=11,\qquad 9+3=12. \] Mamy więc \(4\) wyniki sprzyjające. Prawdopodobieństwo: \[ P(A)=\frac4{15}. \]

Jeżeli wszystkich kul jest \(n\), to \[\frac{18}{n}=\frac35,\] więc \(n=30\). Kul białych było \[30-18=12.\]

Wszystkich uporządkowanych wyników jest

\[ 6\cdot6=36. \]

Pasujące wyniki:

\[ (2,1), \] \[ (3,1),\ (3,2), \] \[ (4,1),\ (4,2),\ (4,3), \] \[ (5,1),\ (5,2),\ (5,3),\ (5,4), \] \[ (6,1),\ (6,2),\ (6,3),\ (6,4),\ (6,5). \]

Jest ich

\[ 1+2+3+4+5=15. \] \[ P(A)=\frac{15}{36}=\frac5{12}. \]

Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość.

Liczby nieparzyste to \(5,7,9\), a parzyste to \(6,8\).

Wszystkie uporządkowane zdarzenia sprzyjające są następujące:

\[ (5,5),(5,7),(5,9), \] \[ (7,5),(7,7),(7,9), \] \[ (9,5),(9,7),(9,9), \] \[ (6,6),(6,8),(8,6),(8,8). \]

Jest ich \(13\).

Wszystkich uporządkowanych wyników jest

\[ 5\cdot5=25. \]

Zatem

\[ P(A)=\frac{13}{25}. \]

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Na kostce liczbami nieparzystymi są \[1,\ 3,\ 5.\] Zdarzenia sprzyjające to uporządkowane pary: \[(1,1),\ (1,3),\ (1,5),\] \[(3,1),\ (3,3),\ (3,5),\] \[(5,1),\ (5,3),\ (5,5).\] Mamy więc \(9\) zdarzeń sprzyjających. Wszystkich możliwych wyników dwóch rzutów kostką jest \[6\cdot6=36.\] Zatem \[P=\frac9{36}=\frac14.\]

Losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania ze zbioru \[ \{1,2,3,4,5\}. \] Liczba wszystkich uporządkowanych wyników wynosi \[ |\Omega|=5\cdot4=20. \] Liczby nieparzyste to \(1,3,5\). Aby obie wylosowane liczby były nieparzyste, pierwszą wybieramy na \(3\) sposoby, a drugą na \(2\) sposoby: \[ |A|=3\cdot2=6. \] Zatem \[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac6{20}=\frac3{10}. \]

Wszystkich uporządkowanych par różnych liczb jest \[ |\Omega|=8\cdot7=56. \] Sumę \(4\) dają pary \((1,3),(3,1)\), a sumę \(8\): \[ (1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3). \] Zdarzeń sprzyjających jest \(8\), więc \[ P(A)=\frac8{56}=\frac17. \]

Mamy \(8\cdot8=64\) jednakowo prawdopodobne uporządkowane wyniki. Iloczyn jest podzielny przez \(15\), gdy jedna z liczb jest równa \(5\), a druga jest wielokrotnością \(3\): \(3\), \(6\) lub \(9\). Korzystne pary: \[ (5,3),(5,6),(5,9),(3,5),(6,5),(9,5). \] Jest ich \(6\), więc \[ P(A)=\frac6{64}=\frac3{32}. \]

Na każde \(2\) losy wygrywające przypada \(7\) przegrywających, czyli łącznie jest \(9\) części. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi \[ P=\frac{2}{2+7}=\frac29. \]

Stosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \(4:5\). Wszystkich równych części jest \(4+5=9\), z czego \(4\) odpowiadają kulom białym. Zatem \[ P=\frac49. \]